Lineare Algebra

Ein Grundkurs mit Aufgabentrainer

verfasst von: Prof. Dr. Siegfried Bosch

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Techniken der Linearen Algebra spielen heute in nahezu allen Gebieten der aktuellen Mathematik eine wichtige Rolle. Demgemäß hat sich die Lineare Algebra zu Recht zu einer der tragenden Säulen mathematischer Studien an Universitäten entwickelt.

Dieses bewährte Lehrbuch, das nun in einer überarbeiteten sechsten Auflage vorliegt, repräsentiert in idealer Weise das Pensum einer zweisemestrigen Anfängervorlesung über Lineare Algebra, in deren Zentrum Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen stehen. Behandelt werden insbesondere lineare Gleichungssysteme und deren Lösung mittels des Gaußschen Eliminationsverfahrens, weiter die Eigen- und Normalformentheorie für lineare Selbstabbildungen von Vektorräumen, sowie Skalarprodukte im Rahmen euklidischer und unitärer Vektorräume, einschließlich der Hauptachsentransformation und des Sylvesterschen Trägheitssatzes. Als Besonderheit wurde die Elementarteilertheorie mit aufgenommen, welche eine sehr effektive Handhabung und explizite Bestimmung von Normalformen quadratischer Matrizen gestattet.

In seiner textlichen Darstellung verfolgt das Buch mehrere Zielsetzungen zugleich. Zunächst liefert es eine klare, systematische und mathematisch strenge, aber dennoch behutsame Entwicklung der Linearen Algebra und ihrer Resultate, zusammen mit den üblichen theoretischen Begriffsbildungen, die diese Theorie so universell einsatzfähig machen. Sodann findet sich zu Beginn eines jeden Kapitels ein informeller Abschnitt mit dem Titel Überblick und Hintergrund als Motivation, der auch die geometrische Anschauung mit einbezieht, wenn immer dies möglich ist. Wie gewohnt enthält das Buch zu jeder thematischen Einheit eine Auswahl an speziell abgestimmten Übungsaufgaben. Zudem wird im Anhang ein neuartiger Aufgabentrainer vorgestellt, der das Bearbeiten der Aufgaben erleichtert und systematisiert. An einer größeren Anzahl von Beispielen wird demonstriert, wie man mittels Aufgabentrainer zu optimalen Lösungen gelangt. Damit eignet sich das Werk bestens zur Prüfungsvorbereitung und zum Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Vektorräume

Zusammenfassung

Das Studium konkreter geometrischer Probleme in der Ebene oder im drei-dimensionalen Raum hat oftmals zu richtungsweisenden mathematischen Entwicklungen Anlass gegeben. Zur Behandlung solcher Probleme bieten sich zunächst geometrische Konstruktionsverfahren an, beispielsweise mittels Zirkel und Lineal. Eine gänzlich andere Strategie hingegen besteht darin, die geometrische Situation in ein rechnerisches Problem umzusetzen, um dann durch “Ausrechnen” zu einer Lösung zu gelangen.

Siegfried Bosch

Kapitel 2. Lineare Abbildungen

Zusammenfassung

In Kapitel 1 haben wir Vektorräume über einem Körper K als Mengen eingeführt, die mit einer gewissen Struktur ausgestattet sind, nämlich einer Addition und einer skalaren Multiplikation mit Elementen aus K, wobei die Gültigkeit gewisser Axiome (Rechenregeln) gefordert wird. Unberührt blieb dabei zunächst die Frage, wann zwei K-Vektorräume V und V′ als “gleich” oder “im Wesentlichen gleich” anzusehen sind.

Siegfried Bosch

Kapitel 3. Matrizen

Zusammenfassung

Bisher haben wir uns im Wesentlichen mit der Untersuchung von grundsätzlichen Eigenschaften bei Vektorräumen und linearen Abbildungen sowie der hiermit verbundenen Konstruktionen beschäftigt. Wir wollen nun verstärkt auf den rechnerischen Standpunkt eingehen und in diesem Kapitel zeigen, wie man konkret gegebene Probleme der Linearen Algebra in effektiver Weise rechnerisch lösen kann. Im Zentrum stehen hier Matrizen und das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren, insbesondere in der Version zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Siegfried Bosch

Kapitel 4. Determinanten

Zusammenfassung

Jeder quadratischen Matrix A mit Koeffizienten aus einem Körper K kann man mittels einer gewissen Rechenvorschrift eine Invariante zuordnen, die sogenannte Determinante. Diese ist genau dann von Null verschieden, wenn die Spalten oder, alternativ, die Zeilen von A linear unabhängig sind, d. h. genau dann, wenn A invertierbar ist.

Siegfried Bosch

Kapitel 5. Polynome

Zusammenfassung

Für einen K-Vektorraum V der Dimension n < ∞ bilden die Endomorphismen τ: V ⟶ V einen Ring End_K(V), der gemäß 3.3/2 als K-Vektorraum von der Dimension n² ist. Betrachtet man daher zu einem Endomorphismus τ von V dessen Potenzen \(\tau^{{n^{{2}} }} , \, . \, . \, . \, ,\tau^{0}\) = id, so sind diese linear abhängig. Folglich existiert in End_K(V) eine Gleichung der Form.

Siegfried Bosch

Kapitel 6. Normalformentheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es darum, für endlich-dimensionale K-Vektorräume V die Struktur der Endomorphismen von V zu klären.

Siegfried Bosch

Kapitel 7. Euklidische und unitäre Vektorräume

Zusammenfassung

Im Rahmen der Einführung zu Kapitel 1 hatten wir überlegt, wie man den \({\mathbb{R}}\)-Vektorraum \({\mathbb{R}}\)² als Modell einer anschaulichen Ebene interpretieren kann.Will man in diesem Modell auch Abstände und damit letztendlich Winkel korrekt reflektieren, so muss man das Modell mit einer Abstandsfunktion ausstatten.

Siegfried Bosch

Kapitel 8. Aufgabentrainer

Zusammenfassung

Die im Buch enthaltenen Übungsaufgaben sollen Gelegenheit bieten, die dargebotene Theorie im Rahmen praktischer Beispiele anzuwenden und damit intensiver zu verarbeiten und zu verstehen. Manchmal sind dabei pure routinemäßige Verifikationen gefragt, manchmal aber auch Überlegungen mit etwas Erfindungsgabe. Das vorliegende Kapitel soll hierzu ein gewisses Training vermitteln und insbesondere zeigen, wie man die Bearbeitung der Aufgaben sinnvoll strukturieren und damit effektiv gestalten kann.

Siegfried Bosch

Backmatter

Titel: Lineare Algebra
verfasst von: Prof. Dr. Siegfried Bosch
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-62616-0
Print ISBN: 978-3-662-62615-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62616-0