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2024 | Buch

Lineare Algebra

Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch über die Lineare Algebra deckt den gesamten Stoff der zweisemestrigen Grundvorlesung ab. Seine anschauliche und konsequent matrizenorientierte Herangehensweise ermöglicht Studierenden ein intuitives Verständnis der abstrakten Objekte.

Die im Buch präsentierten vielfältigen Anwendungen und Beispiele motivieren Studierende zur intensiven Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra als leistungsfähiges mathematisches Werkzeug. In vielen „MATLAB-Minuten“ können sich Studierende wichtige Sätze und Konzepte am Rechner erarbeiten. Alle notwendigen Vorkenntnisse werden in einer MATLAB-Kurzeinführung erläutert. Das Buch enthält zudem über 350 Übungsaufgaben, die das Erlernen des Stoffes unterstützen. Interessierte Studierende finden darüber hinaus historische Notizen zur Entwicklung des Gebiets.

Für diese vierte Auflage wurde das Buch durchgesehen und ergänzt. Zu den Ergänzungen gehören insbesondere die genauere Betrachtung von Projektionen, die Herleitung der Frobenius-Normalform von Endomorphismen sowie der Beweis eines wichtigen Satzes über Matrixfunktionen basierend auf der Lösung des Hermite-Interpolationsproblems. Hinzugekommen sind außerdem mehr als 20 neue Aufgaben sowie Begriffe wie der Bidualraum, derogatorische Matrizen, Invariantenteiler und Isometrien. Der übersichtliche Aufbau und das bewährte Konzept des Lehrbuchs wurden beibehalten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Lineare Algebra im Alltag
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir einige Beispiele aus dem Alltag vor, in denen die Lineare Algebra für die mathematische Modellierung und Lösung von Problemen genutzt wird. Diese Beispiele sind die Berechnung der Wichtigkeit von Dokumenten mit Hilfe des PageRank-Algorithmus, die Berechnung von Schadenfreiheitsklassen in einer Kraftfahrzeug-Versicherung, die Produktionsplanung in einem verarbeitenden Betrieb, die Vorhersage von Gewinnen oder Verlusten mit Hilfe der linearen Regression und die Simulation von Schaltkreisen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 2. Mathematische Grundbegriffe
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten mathematischen Grundbegriffe vor, auf denen die Entwicklungen in den folgenden Kapiteln beruhen. Wir beginnen mit den Grundlagen von Mengen und Aussagen. Danach betrachten wir Abbildungen zwischen Mengen und deren wichtigste Eigenschaften. Schließlich studieren wir Relationen und betrachten hierbei insbesondere die Äquivalenzrelationen auf einer Menge.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 3. Algebraische Strukturen
Zusammenfassung
Eine algebraische Struktur ist eine Menge zusammen mit Verknüpfungen ihrer Elemente, die gewissen Bedingungen genügen. Als Beispiel einer solchen Struktur stelle man sich die ganzen Zahlen und die Addition „\(+\)“ vor. Welche Eigenschaften hat die Addition? Bereits in der Grundschule wird gelehrt, dass die Summe \(a+b\) zweier ganzer Zahlen a und b eine ganze Zahl ist. Zudem gibt es die ganze Zahl 0, für die \(0+a=a\) für jede ganze Zahl a gilt, und für jede ganze Zahl a gibt es die ganze Zahl \(-a\), so dass \((-a)+a=0\) ist. Die Analyse der Eigenschaften solcher konkreten Beispiele führt in der Mathematik häufig auf Definitionen abstrakter Konzepte, die aus wenigen und einfachen Grundsätzen, sogenannten Axiomen, bestehen. Für die ganzen Zahlen und die Addition führt dies auf die algebraische Struktur der Gruppe.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 4. Matrizen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel definieren wir Matrizen mit ihren wichtigsten Operationen und wir studieren verschiedene aus Matrizen gebildete Gruppen und Ringe. James Joseph Sylvester (1814–1897)  erfand den Begriff „Matrix“ im Jahre 1850. Die in diesem Kapitel definierten Matrixoperationen führte Arthur Cayley (1821–1895)  im Jahre 1858 ein, als er in seinem Artikel „A memoir on the theory of matrices“ erstmals Matrizen als eigenständige algebraische Objekte betrachtete. Für uns bilden Matrizen den zentralen Zugang zur Theorie der Linearen Algebra.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 5. Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel entwickeln wir ein systematisches Verfahren, mit dem jede Matrix, die über einem Körper definiert ist, in eine spezielle Form transformiert werden kann, die wir die Treppennormalform nennen. Die Transformation wird erreicht durch Linksmultiplikation der gegebenen Matrix mit sogenannten Elementarmatrizen. Ist die gegebene Matrix invertierbar, so ist ihre Treppennormalform die Einheitsmatrix und die Inverse kann anhand der Elementarmatrizen einfach berechnet werden. Für eine nicht-invertierbare Matrix ist die Treppennormalform in einem gewissen Sinne „möglichst nahe“ an der Einheitsmatrix. Diese Form motiviert den Begriff des Rangs von Matrizen, den wir in diesem Kapitel ebenfalls einführen und der später noch häufig auftreten wird.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 6. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme treten in vielen wichtigen Anwendungen auf, wie zum Beispiel bei der Diskretisierung von Differenzialgleichungen oder der Linearisierung einer nichtlinearen Gleichung. Die Lösung solcher Systeme ist daher ein zentrales Problem der Linearen Algebra, das wir in diesem Kapitel einführend behandeln wollen. Wir analysieren die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen, charakterisieren mit Hilfe der im vorherigen Kapitel eingeführten Treppennormalform die Anzahl der Lösungen und leiten einen Algorithmus zur Berechnung der Lösungen her.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 7. Determinanten von Matrizen
Zusammenfassung
Die Determinante ist eine Abbildung, die jeder quadratischen Matrix \(A\in R^{n,n}\), wobei R ein kommutativer Ring mit Eins ist, ein Element des Rings R zuordnet. Diese Abbildung hat interessante und wichtige Eigenschaften. Unter anderem erhalten wir durch sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Matrix \(A\in R^{n,n}\) invertierbar ist. Zudem bildet die Determinante die Grundlage für die Definition des charakteristischen Polynoms von Matrizen in Kap. 8. In der analytischen Geometrie tritt die Determinante bei der Berechnung von Volumen einfacher (polyedrischer) Mengen auf und in der Analysis mehrerer Veränderlicher spielt sie eine wichtige Rolle in Transformationsformeln von Integralen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 8. Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen
Zusammenfassung
Wir haben Matrizen bereits anhand ihres Rangs und ihrer Determinante charakterisiert. In diesem Kapitel ordnen wir mit Hilfe der Determinantenabbildung jeder (quadratischen) Matrix ein eindeutig bestimmtes Polynom zu, das wir das charakteristische Polynom der Matrix nennen. Dieses Polynom repräsentiert wichtige Informationen über die gegebene Matrix. Unter anderem kann die Determinante der Matrix am charakteristischen Polynom abgelesen und somit auch die Frage der Invertierbarkeit der Matrix beantwortet werden. Noch wichtiger sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, die die Eigenwerte der gegebenen Matrix genannt werden.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 9. Vektorräume
Zusammenfassung
In den letzten Kapiteln haben wir anhand von Matrizen einige wichtige Begriffe der Linearen Algebra, wie die Determinante, den Rang, das charakteristische Polynom und die Eigenwerte, eingeführt und zahlreiche Ergebnisse über diese Begriffe hergeleitet. In diesem Kapitel beginnen wir nun, diese Begriffe in einen etwas abstrakteren Rahmen zu stellen. Wir führen dazu mit dem Vektorraum eine weitere algebraische Struktur ein und wir studieren die wichtigsten Eigenschaften von Vektorräumen, insbesondere die Konzepte von Basis und Dimension.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 10. Lineare Abbildungen
Zusammenfassung
Nach der Einführung von Vektorräumen im vorherigen Kapitel betrachten wir nun Abbildungen zwischen Vektorräumen, die mit den beiden Vektorraum-Operationen Addition und skalare Multiplikation „verträglich“ sind. Hierbei handelt es sich um die linearen Abbildungen. Nach der Untersuchung ihrer wichtigsten Eigenschaften zeigen wir, dass im Fall von endlichdimensionalen Vektorräumen jede lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt werden kann, sobald Basen in den entsprechenden Räumen gewählt sind. Werden die Basen „geschickt“ gewählt, so können an der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung wichtige Informationen über die Abbildung einfach abgelesen werden. Diese zentrale Idee werden wir in den folgenden Kapiteln immer wieder aufgreifen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 11. Linearformen und Bilinearformen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit verschiedenen Klassen von Abbildungen zwischen einem oder zwei K-Vektorräumen und dem Körper K, den wir selbst als einen eindimensionalen K-Vektorraum auffassen. Diese Abbildungen spielen unter anderem eine wichtige Rolle in der Analysis, der Funktionalanalysis und bei der Lösung von Differenzialgleichungen. Für uns bilden sie die Grundlage für weitere wichtige Entwicklungen. Ausgehend von den Bilinear- und Sesquilinearformen werden wir die euklidischen und unitären Vektorräume in Kap. 12 einführen. Die Idee der Linearform und des Dualraums wird eine zentrale Rolle in unserem Beweis der Existenz der Jordan-Normalform in Kap. 16 spielen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 12. Euklidische und unitäre Vektorräume
Zusammenfassung
In diesem Kapitel studieren wir Vektorräume über den reellen und den komplexen Zahlen. Ausgehend von den Bilinear- und Sesqulinearformen führen wir den Begriff des Skalarprodukts auf einem reellen oder komplexen Vektorraum ein. Skalarprodukte erlauben die Verallgemeinerungen vertrauter Begriffe aus der elementaren Geometrie des \(\mathbb {R}^2\) und \(\mathbb {R}^3\), wie zum Beispiel Längen und Winkel, auf allgemeine reelle und komplexe Vektorräume. Dies führt uns auf die Orthogonalität von Vektoren und auf Orthonormalbasen von Vektorräumen. Die Bedeutung dieser Konzepte in vielen Anwendungen der Linearen Algebra demonstrieren wir am Beispiel der Kleinste-Quadrate-Approximation.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 13. Adjungierte lineare Abbildungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir die Adjungierte einer linearen Abbildung ein, eine Verallgemeinerung der Transponierten einer Matrix. Eine Matrix ist symmetrisch, wenn sie gleich ihrer Transponierten ist. Analog ist ein Endomorphismus selbstadjungiert, wenn er gleich seinem adjungierten Endomorphismus ist. Symmetrische Matrizen und selbstadjugierte Endomorphismen bilden unter bestimmten Annahmen reelle oder komplexe Vektorräume, die wir in diesem Kapitel studieren und die eine wichtige Rolle in unserem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra in Kap. 15 spielen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 14. Eigenwerte von Endomorphismen
Zusammenfassung
In vorherigen Kapiteln haben wir uns bereits mit Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen beschäftigt. Diese Begriffe verallgemeinern wir in diesem Kapitel auf Endomorphismen und wir untersuchen, wann Endomorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen durch Diagonalmatrizen oder durch (obere) Dreiecksmatrizen dargestellt werden können. Von einer solchen Darstellung können wichtige Informationen über den Endomorphismus und insbesondere seine Eigenwerte einfach abgelesen werden.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 15. Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra
Zusammenfassung
Aus der Untersuchung der Eigenwerte von Matrizen und Endomorphismen wissen wir, dass diese die Nullstellen der charakteristischen Polynome sind. Da nicht jedes Polynom über jedem Körper in Linearfaktoren zerfällt, stellt sich die Frage, wann eine Matrix oder ein Endomorphismus Eigenwerte besitzt. Um diese Frage zu beantworten, beschäftigen wir uns in diesem Kapitel im Detail mit Polynomen. Wir beweisen den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom über \(\mathbb {C}\) hat mindestens eine Nullstelle in \(\mathbb {C}\). Somit haben jede Matrix über \(\mathbb {C}\) und jeder Endomorphismus auf einem \(\mathbb {C}\)-Vektorraum (ungleich Null) mindestens einen Eigenwert.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 16. Die Jordan- und Frobenius-Normalform
Zusammenfassung
In diesem Kapitel benutzen wir die Theorie der Dualität, um die Eigenschaften eines Endomorphismus f auf einem endlichdimensionalen Vektorraum \(\mathcal {V}\) genauer zu untersuchen. Hierbei geht es uns insbesondere um die algebraische und geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte von f und die Charakterisierung der entsprechenden Eigenräume. Unsere Strategie in dieser Untersuchung ist, den Vektorraum \(\mathcal {V}\) so in eine direkte Summe f-invarianter Unterräume zu zerlegen, dass bei einer geeigneten Wahl von Basen in den jeweiligen Unterräumen die Eigenschaften von f anhand der entsprechenden Matrixdarstellung offensichtlich werden. Diese Idee führt uns auf die Jordan-Normalform von Endomorphismen und Matrizen, die existiert, wenn das charakteristische Polynom von f bzw. A in Linearfaktoren zerfällt. Wegen ihrer großen Bedeutung für die Theorie der Linearen Algebra hat es seit ihrer Entdeckung im 19. Jahrhundert zahlreiche weitere Herleitungen der Jordan-Normalform mit den unterschiedlichsten mathematischen Hilfsmitteln gegeben. Unser Zugang mit der Dualitätstheorie basiert auf der Arbeit [Pta56] von Vlastimil Pták (1925–1999).Mit der gleichen Strategie leiten wir in diesem Kapitel auch die Frobenius-Normalform von Endomorphismen und Matrizen her. Im Gegensatz zur Jordan-Normalform existiert die Frobenius-Normalform selbst dann, wenn f bzw. A keine Eigenwerte besitzt.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 17. Matrixfunktionen und Differenzialgleichungssysteme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in das Thema der Matrixfunktionen. Diese treten zum Beispiel bei der Lösung von Differenzialgleichungen, in der Stochastik, der Kontrolltheorie, der Optimierung und vielen weiteren Gebieten der Mathematik und ihren Anwendungen auf. Nach der Definition von primären Matrixfunktionen und der Herleitung ihrer wichtigsten Eigenschaften betrachten wir die Matrix-Exponentialfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion studieren wir die Lösung von Systemen linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 18. Spezielle Klassen von Endomorphismen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit speziellen Klassen von Endomorphismen und Matrizen, für die starke Aussagen über ihre Eigenwerte und Eigenvektoren gemacht werden können. Solche Aussagen sind nur unter zusätzlichen Annahmen möglich. Hier betrachten wir insbesondere Endomorphismen von euklidischen oder unitären Vektorräumen, die eine besondere Beziehung zu dem jeweils adjungierten Endomorphismus haben. Dies führt uns auf die Klassen der normalen, der unitären bzw. orthogonalen und der selbstadjungierten Endomorphismen. Jede dieser Klassen hat eine natürliche Entsprechung in der Menge der quadratischen (reellen oder komplexen) Matrizen.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 19. Die Singulärwertzerlegung
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einer weiteren Matrixzerlegung, der sogenannten Singulärwertzerlegung (oft abgekürzt als SVD, was vom englischen Begriff singular value decomposition stammt). Diese Zerlegung spielt in vielen Anwendungen von der Bildkompression bis hin zur Modellreduktion und Statistik eine zentrale Rolle. Der wesentliche Grund dafür ist, dass die Singulärwertzerlegung die beste Approximation durch Matrizen von kleinem Rang ermöglicht.
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Kapitel 20. Das Kronecker-Produkt und lineare Matrixgleichungen
Zusammenfassung
Viele Anwendungen, insbesondere die Stabilitätsuntersuchung von Differenzialgleichungen, führen auf lineare Matrixgleichungen, wie etwa die Sylvester-Gleichung \(AX+XB=C\). Hier sind die Matrizen ABC gegeben und eine Matrix X, die die Gleichung erfüllt, ist gesucht (wir geben später eine formale Definition). Bei der Beschreibung der Lösung solcher Gleichungen tritt mit dem Kronecker-Produkt/ein weiteres Produkt von Matrizen auf. In diesem Kapitel leiten wir die wichtigsten Eigenschaften dieses Produkts her und wir studieren seine Anwendung im Kontext linearer Matrixgleichungen. Viele weitere Resultate zu diesen Themen findet man in [HorJ91, LanT85].
Jörg Liesen, Volker Mehrmann
Backmatter
Metadaten
Titel
Lineare Algebra
verfasst von
Jörg Liesen
Volker Mehrmann
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-67944-9
Print ISBN
978-3-662-67943-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-67944-9

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