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Über dieses Buch

Die kompakte Darstellung einer in sich geschlossenen Theorie der linearen Codes wird vervollständigt durch die Implementierung eines Codes für AVR-Mikrocontroller. Zur Straffung der Entwicklung der Theorie wird etwas Homologie-Theorie eingesetzt. Es wird eine einfache Methode zur Konstruktion von Codes mit gegebenen Eigenschaften vorgestellt.Die Realisierung der Arithmetik endlicher Körper ist die Grundlage linearer Codes. Es werden deshalb zwei Verfahren hergeleitet und für verschiedene Mikrocontroller implementiert. Zur Konstruktion zyklischer Codes sind Polynome zu zerlegen, dazu werden zwei Verfahren ausführlich abgeleitet.Lineare Codes erfordern Polynomarithmetik und die Lösung linearer Gleichungssysteme über endlichen Körpern. Es wird gezeigt, wie beides in sehr effektive Programme für AVR-Mikrocontroller umgesetzt werden kann.Um zu einer durchgehend einheitlichen Symbolik zu gelangen enthält das Buch ein längeres Kapitel mit allen benötigten algebraischen Grundlagen. Weitere Hilfsmittel werden also nicht benötigt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

In der Kodierungstheorie spielen zwei Matrizen eine besondere Rolle. Es sind die Generator- und die Paritätsprüfungsmatrix. Sie sind durch eine Orthogonalitätsrelation miteinander verbunden. Für einen Einsteiger in die Theorie wirkt der Einsatz dieser Matrizen allerdings oft willk ürlich, was auch für andere Objekte und Vorgehensweisen der Theorie gilt.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

2. Darstellung und Arithmetik endlicher Körper

Einige Verfahren der Kodierungstheorie verlangen, daβ Berechnungen in endlichen Körpern gröβerer Kardinalität ausgeführt werden. In der Praxis sind das hauptsächlich die Körper K2n. Dazu gehören das Lösen linearer Gleichungssysteme und die Bestimmung von Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus solch einem Körper.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

3. Bestimmung irreduzibler Faktoren von Polynomen über endlichen Körpern

Es sei f ∈ ??q$$ \mathbb {K}_q $$ [X] mit ∂(f) = m. Jedes Polynom g ∈ ??q$$ \mathbb {K}_q $$ [X], das 1 ≤ ∂(g) ≤ m ‒ 1 erfüllt, ist ein Kandidat für einen echten Teiler von f. Die Irreduzibilität von f kann daher so bestimmt werden, daβ für jedes solche g ein Quotient q und ein Rest r aus ??q$$ \mathbb {K}_q $$ [X] berechnet werden mit f = qf + r. Findet man dabei ein g mit r = 0, dann ist g ein echter Teiler von f und f ist reduzibel. Sollte nur die Irreduzibilität getestet werden, kann die Suche abgebrochen werden.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

4. Lineare Codes

Wird eine reale Nachricht, beispielsweise eine Folge von Messwerten, einer realen Nachrichten übertragungsstrecke anvertraut, dann muβ in vielen Fällen damit gerechnet werden, daβ dieNachricht den Empfänger nicht fehlerfrei erreicht. Es ist oft möglich, durch den Einsatz einer verbesserten Technik eine Verbesserung der Übertragungsqualität zu erreichen, etwa indem man Kupferkabel durch Lichtwellenleiter ersetzt. Man hat natürlich nicht immer eine solche Option.Die Funkwellen eines Satelliten, der von der äuβersten Sphäre des Planetensystems Messwerte zur Erde sendet, sind den elektrischen und magnetischen Feldern des Weltraumes schutzlos ausgesetzt und erreichen die Empfangsantenne mit absoluter Sicherheit nicht fehlerfrei.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

5. Polynomarithmetik und lineare Gleichungssysteme mit AVR

Polynomarithmetik spielt in der Kodierungstheorie (und nicht nur dort) eine ganz bedeutende Rolle. Viele ihrer Verfahren und Algorithmen werden mit Polynomen ausgef ührt. Und doch, wenn es an die Umsetzung in die Praxis geht, und das bedeutet heute ein Programm, dann werden Polynome eher gemieden. Das hat einen guten Grund: Geschwindigkeit. Besonders die Polynommultiplikation und Polynomdivision sind in der Durchführung relativ zeitaufwendig.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

6. Algebraische Grundlagen

Ein erklärtes Ziel der Autoren bei der Abfassung des Buchtextes war es, diesen so weit wie eben möglich von äuβeren Quellen unabhängig zu machen. Dieses Ziel auch nur annähernd zu erreichen wurde dadurch schwer gemacht, daβ in die Kodierungstheorie recht viel Mathematik eingearbeitet ist. So ist die Theorie endlicher Körper ein sehr schönes Teilgebiet der Mathematik, aber sie steht am Ende einer langen Entwicklung, die unter anderem Polynome, Polynomringe und die Theorie der Körpererweiterungen entält.

Herrad Schmidt, Manfred Schwabl-Schmidt

Backmatter

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