10. Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erster und zweiter Ordnung kommen in vielen Anwendungen vor. In der Elektrotechnik treten sie bei Auf- und Entladevorgängen, bei elektrischen Schwingkreisen und bei Wechselstromkreisen auf. In der Mechanik beschreiben sie Feder-Dämpfer-Systeme und in der Thermodynamik Aufheizungs- und Abkühlungsprozesse.Will man lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lösen, so wendet man auch hier ein zweistufiges Verfahren an: Man löst zunächst die homogene Gleichung und sucht dann eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.Die homogene Gleichung löst man, indem man sie durch einen Exponentialansatz in eine algebraische Gleichung überführt, die einfach zu lösen ist. Für die inhomogene Gleichung verwendet man den „Ansatz vom Typ der rechten Seite“, auch Störgliedansatz genannt.Die beschriebenen Verfahren lassen sich auch auf Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten übertragen, deren Ordnung größer als 2 ist.Der Exponentialansatz wird ebenfalls für Systeme von Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet. Dabei ergibt sich die Aufgabe, Eigenwerte einer Matrix zu berechnen.