16. Lineare Gleichungen

In diesem Kapitel werden lineare stochastische Differentialgleichungen (SDEs) der Form (16.1) untersucht, wobei explizite Lösungen und deren Eigenschaften im Mittelpunkt stehen. Besonders wird die Übergangsverteilung und die Existenz von Übergangsdichten analysiert, wobei der Fokus auf dem absolut stetigen Fall liegt. Der Text beginnt mit der Herleitung der expliziten Lösung einer linearen SDE und untersucht anschließend die Eigenschaften dieser Lösung, insbesondere die Übergangsverteilung. Ein zentrales Ergebnis ist die Darstellung der Lösung als Gaußscher Prozess, was die Berechnung der Übergangsverteilung ermöglicht. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der Langevin-Gleichung, die in der Physik zur Beschreibung der zufälligen Bewegung eines Teilchens verwendet wird. Die Analyse zeigt, dass die Lösung der Langevin-Gleichung eine Übergangsdichte besitzt, obwohl der Diffusionskoeffizient degeneriert ist. Darüber hinaus wird die Verbindung zwischen der Nichtentartung der Kovarianzmatrix und der Steuerbarkeit eines linearen Systems hergestellt, wobei die Kalman-Bedingung als operationales Kriterium dient. Die Hörmander-Bedingung wird als weiteres Kriterium eingeführt, das die Existenz einer glatten Fundamentallösung für den Kolmogorov-Rückwärtsoperator sicherstellt. Abschließend werden verschiedene Anwendungen linearer SDEs in der Finanzmathematik und Physik vorgestellt, darunter das Vasicek-Modell für Zinssätze, die Brownsche Brücke und das Ornstein-Uhlenbeck-Modell. Die Ergebnisse des Kapitels zeigen die vielfältigen Anwendungen linearer SDEs und ihre Bedeutung in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen.