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Über dieses Buch

Seit Erscheinen meines Buches "Lineare Operatoren in Hilberträumen" [38] im Jahre 1976 und dessen englischer Übersetzung [39] im Jahre 1980 haben mich viele freundliche Stellungnahmen erreicht. Häufig wurde aber auch bedauert, daß die Anwendungen auf Differentialoperatoren der Quantenme­ chanik und auf die Streutheorie aus Gründen des Umfangs nur sehr un­ befriedigend behandelt werden konnten. Dieser Mangel soll jetzt behoben werden. Dazu ist allerdings die Verteilung des Stoffes auf zwei Bände nötig geworden. Ich bin Herrn Dr. P. Spuhler vom Teubner-Verlag sehr dankbar dafür, daß er diesen Plan von Anfang an unterstützte. Der vorliegende erste Teil soll die Grundlagen der Theorie darstellen; Anwen­ dungen treten hier nur in Form von illustrativen Beispielen auf. Dabei hat es auf Hilberträume zu be­ sich als nützlich erwiesen, sich nicht von Anfang an schränken, sondern, soweit dies die Darstellung nicht zu sehr belastet, auch allgemeinere normierte oder Banachräume zu betrachten. Dieser erste Band sollte deshalb eine für Mathematiker und Physiker nützliche Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis und der Hilbertraumtheorie bieten, die auch zum Selbststudium geeignet ist. Als Voraussetzung zur Lektüre soll­ te dabei der Stoff der üblichen Anfängervorlesungen für Mathematiker oder Physiker und einige Kenntnisse aus der Funktionentheorie und der Theo­ rie der gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen. Eine für diese Zwecke geeignete vollständige Einführung in die Lebesguesche Integration wird in Anhang A gegeben. Der geplante zweite Teil wird dann Anwendungen auf die gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren der Quantenmechanik einschließlich einer Einführung in die Streutheorie enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Metrische Räume, normierte Räume und Hilberträume

Zusammenfassung
Erklärtes Ziel dieses Bandes ist die Darstellung der Theorie linearer Operatoren in Hilberträumen. Einerseits werden dabei insbesondere die selbstadjungierten Operatoren mit ihrer besonders übersichtlichen Struktur eine zentrale Rolle spielen. Andererseits sollen, soweit dies keine großen zusätzlichen Schwierigkeiten bereitet, auch Operatoren in normierten Räumen oder Banachräumen betrachtet werden; dies macht gleichzeitig deutlich, wo die Besonderheiten der Hilbertraumtheorie liegen.
Joachim Weidmann

2. Lineare Operatoren und Funktionale

Zusammenfassung
Ein linearer Operator T von einem normierten Raum X (oder Prähilbertraum, ggf. auch einem allgemeinen Vektorraum mit oder ohne Topologie) in einem anderen normierten Raum Y (oder…) ist eine lineare Abbildung von einem Teilraum (Untervektorraum) D(T) von X in den Raum Y, d.h. für x,y ϵ D(T) und \(\alpha ,\beta \in K\) gilt
$$T\left( {\alpha x + \beta y} \right) = \alpha Tx + \beta Ty.$$
Man sagt auch, T ist ein (linearer) Operator von X nach Y. Ist Y = K, so spricht man von einem linearen Funktional
Joachim Weidmann

3. Kompakte Operatoren

Zusammenfassung
Kompakte Operatoren sind „fast endlichdimensional“ (sie sind dadurch charakterisiert, daß sie sich durch endlichdimensionale Operatoren in der Operatornorm approximieren lassen). Tatsächlich finden sich bei kompakten Operatoren viele Eigenschaften in nur leicht abgeschwächter Form wieder, die man aus der endlichdimensionalen linearen Algebra (insbesondere in endlichdimensionalen Räumen mit Skalarprodukt) kennt. Dies gilt z. B. für die Entwicklungssätze, die sich direkt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren ergeben, der sich ohne tiefergehende Spektraltheorie völlig elementar beweisen läßt.
Joachim Weidmann

4. Abgeschlossene Operatoren

Zusammenfassung
Ohne zusätzliche Voraussetzungen sind über beliebige unbeschränkte Operatoren kaum interessante Aussagen möglich. Setzt man dagegen Abgeschlossenheit voraus, so hat man ähnlich schöne Eigenschaften wie bei beschränkten Operatoren; das ist nicht weiter überraschend, wenn man bedenkt, daß ein abgeschlossener Operator beschränkt ist bezüglich einer geeigneten Norm (der Graphennorm) auf dem Definitionsbereich. Die ist eine Konsequenz des zentralen Satzes vom abgeschlossenen Graphen, ohne den eine Theorie unbeschränkter Operatoren nicht denkbar wäre.
Joachim Weidmann

5. Spektraltheorie abgeschlossener Operatoren

Zusammenfassung
Abgeschlossene Operatoren bieten auch den geeigneten Rahmen für eine allgemeine Spektraltheorie. Resolventenmenge, Spektrum und Resolvente sind die grundlegenden Begriffe. Neben den Resolventengleichungen wird insbesondere die Analytizität der Resolventenfunktion auf der Resolventenmenge bewiesen; ein Spezialfall ist die Neumannsche Reihe, die die Analytizität in einem Außenbereich liefert. Wichtigstes Hilfsmittel ist der Satz über die Stabilität der stetigen Invertierbarkeit.
Joachim Weidmann

6. Klassen linearer Operatoren

Zusammenfassung
Nachdem die wichtigsten Begriffsbildungen und die Grundlagen der Theorie bereitgestellt sind, werden in diesem Kapitel einige typische Klassen linearer Operatoren beschrieben.
Joachim Weidmann

7. Quantenmechanik und Hilbertraumtheorie

Zusammenfassung
Es ist nun hinreichend viel über lineare Operatoren bekannt, um den mathematischen Formalismus der Quantenmechanik darzustellen und die von der Quantenmechanik gestellten mathematischen Fragen angemessen zu formulieren. Es wird gezeigt, daß die physikalisch notwendige starke Stetigkeit und Unitarität der Evolutionsgruppe die Selbstadjungiertheit des Operators i × Generator (des Schrödingeroperators) erzwingt, Satz von Stone.
Joachim Weidmann

8. Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren

Zusammenfassung
Die Darstellung der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren ist das zentrale Thema dieses Bandes. Ausgehend von einer Spektralschar werden zunächst Integrale bezüglich dieser Spektralschar definiert; dabei werden sehr allgemeine Funktionen zugelassen, die insbesondere alle stückweise stetigen Funktionen umfassen; für letztere können allerdings die Beweise wesentlich vereinfacht werden (vgl. z. B. Aufgaben 8.1 und 8.2). Diese Integrale definieren stets normale Operatoren; falls die zu integrierende Funktion reell ist, ist das Integral ein selbstadjungierter Operator.
Joachim Weidmann

9. Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren

Zusammenfassung
Nur für relativ wenige sehr spezielle selbstadjungierte Operatoren können die Resolvente, das Spektrum und die Spektralschar bzw. eine Spektraldarstellung explizit berechnet werden. Hier setzt die Störungstheorie an: Wenn ein Operator „wenig“ verändert (gestört) wird, erwartet man auch geringfügige Änderung der oben genannten Objekte. Oder anders gesehen, wenn man einen hinreichend nahe „benachbarten“ Operator gut kennt, sollte man auch etwas über den ursprünglichen Operator aussagen können. Viele der hier dargestellten Resultate gehen auf F. Rellich und T. Kato zurück.
Joachim Weidmann

10. Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren

Zusammenfassung
Es ist häufig leicht, mit Hilfe eines formalen Ausdrucks (z.B. eines Differentialausdrucks) einen symmetrischen (d.h. dicht definierten hermiteschen) Operator S anzugeben, SS*. Ist der Abschluß S¯ nicht selbstadjungiert (d.h. S ist nicht wesentlich selbstadjungiert), so gilt \(\bar S\mathop \subset \limits_ \ne S*\). Gesucht ist dann (vgl. z. B. Kapitel 7) eine selbstadjungierte Fortsetzung T von S, d.h. ein Operator T, für den gilt SS¯ ⊂ T = T* ⊂ S*; eine solche selbstadjungierte Fortsetzung T von S ist also gleichzeitig eine Einschränkung von S*. Entsprechend gilt für jede symmetrische Fortsetzung A von S: SAA* ⊂ S*; d.h. ein abgeschlossener symmetrischer Operator A ist genau dann eine Fortsetzung von S, wenn A* eine Einschränkung von S* ist.
Joachim Weidmann

11. Fouriertransformation und Differentialoperatoren

Zusammenfassung
Die Fouriertransformation fFf mit Ff(x) = (2π)n/2eixy f(y) dy ist das wichtigste Hilfsmittel zur Untersuchung von Differentialoperatoren in L2(ℝ m ). Sie ist in natürlicher Weise auf L1(ℝ m ) definiert und bildet den Schwarzschen Raum der schnellfallenden Funktionen S(ℝ m ) bijektiv auf sich ab, wobei die L2-Norm erhalten bleibt. Deshalb läßt sie sich eindeutig zu einer unitären Abbildung in L2(ℝ m ) fortsetzen.
Joachim Weidmann

Backmatter

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