Lineare Operatoren

Lineare Operatoren bilden einen linearen Raum linear in sich selber oder in einen anderen linearen Raum ab. Das heißt, dass man erst linear kombinieren und dann abbilden kann oder erst abbildet und dann linear kombiniert, mit demselben Ergebnis. Das erklären wir genauer im Abschnitt über

lineare Abbildungen

. Wir führen dann das Skalarprodukt ein, damit wird ein linearer Raum zu einem

Hilbert-Raum

. Dessen lineare Teilräume kennzeichnen wir durch

Projektoren auf Teilräume

. Die wichtige Klasse der

normalen Operatoren

ist dadurch ausgezeichnet, dass sie mit ihrem Adjungierten vertauschen. Selbstadjungierte, unitäre und positive Operatoren sind normal. Für sie kann man sehr einfach

Funktionen von Operatoren

definieren, nicht nur als konvergente Potenzreihen. Wir decken auf, was

Translationen

und die

Fourier-Transformation

miteinander zu tun haben. Der nächste Abschnitt behandelt

Ort und Impuls

, redet von Schwankungen und begründet die Heisenbergsche Unschärfebeziehung, allein mit der algebraischen Struktur der Vertauschungsregeln. Gleichfalls nur mit den Vertauschungsregeln leiten wir die Eigenschaften von

Leiter-Operatoren

her und studieren mit diesem Werkzeug die irreduziblen unitären Darstellungen der

Drehgruppe

.