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2016 | Buch

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Ebene Flächentragwerke

Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten

verfasst von: Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das gut eingeführte Werk Ebene Flächentragwerke erscheint nun in der 2. Auflage. Ausgehend von einer Klassifikation der Modelle ebener Flächentragwerke und den Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie werden zunächst systematisch die Gleichungen für isotrope Scheiben und Platten abgeleitet. Dabei wird ein didaktisch einheitliches Konzept eingesetzt. Die Gleichungen werden in kartesischen Koordinaten, Polarkoordinaten und schiefwinkligen Koordinaten formuliert. In Ergänzung der ersten Auflage wird auch eine Plattentheorie in koordinatenfreier Schreibweise behandelt, so dass der Leser einen leichteren Zugang zu modernen Konzepten der Formulierung von Flächentragwerkstheorien erhält. Die Diskussion der Plattenmodelle nach Kirchhoff, Mindlin und von Kármán zeigt die Möglichkeiten und Grenzen dieser Strukturmodelle.

Für schubstarre und schubelastische Platten mit kleinen Durchbiegungen wird auch anisotropes Materialverhalten einbezogen, und es werden die Strukturgleichungen der klassischen Laminattheorie und der Schubdeformationstheorie erster Ordnung angegeben. Es folgt ein kurzer Einblick in Theorien zur Analyse dreischichtiger Platten. Die Berücksichtigung vorgegebener Temperaturfelder erfolgt für alle Plattenmodelle im Rahmen der entkoppelten Thermoelastizität.

Der Leser erhält einen umfassenden Überblick über die Anwendung bedeutsamer Strukturmodelle ebener Flächentragwerke. Die nach Aufgabenklassen geordneten zahlreichen Beispiele können als Referenzlösungen zur Testung numerischer Verfahren genutzt werden. Die Aufnahme der sogenannten Reduktionsverfahren von Wlassow und Kantorowitsch soll ihre Leistungsfähigkeit für die Ableitung einfacher und analytischer Näherungslösungen durch die Reduktion der Strukturgleichungen auf eindimensionale Formulierungen verdeutlichen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung

Die Modellierung und Berechnung ebener Flächentragwerke ist ein Teilgebiet der mechanischen Strukturanalyse allgemeiner Tragwerke. Die Tragwerkselemente Scheibe und Platte können für sich allein Tragwerksfunktionen übernehmen, oder sie sind Strukturelemente allgemeiner Scheiben-Platten-Konstruktionen, die in vielen technischen Bereichen eingesetzt werden.

Die Strukturanalyse von Flächentragwerken setzt solide Kenntnisse über die Modellbildung, die Modellqualität und den Berechnungsaufwand voraus. Das einführende Kapitel erläutert die Aufgabenstellungen, die in den folgenden Kapiteln behandelt werden. Ausgangspunkt ist eine Klassifizierung der Tragwerke und ihrer Elemente sowie die Erläuterung der dafür erforderlichen Annahmen. An einfachen und anschaulichen Beispielen werden typische Fragestellungen erläutert, die im Rahmen einer Berechnung von Flächentragwerken beantwortet werden können. Es folgt eine erste Beschreibung der Scheiben- und Plattenmodelle, die nachfolgend ausführlich abgeleitet und berechnet werden. Damit ist auch die Zielstellung des vorliegenden Buches genauer umrissen.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

2. Scheiben

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Differentialgleichungen und Randbedingungen der Scheibentheorie abgeleitet und für ausgewählte Standardbeispiele deren Anwendung erläutert. Für die Scheibengleichungen werden ein ebener Spannungs- oder ein ebener Verzerrungszustand vorausgesetzt. Um die Ableitungen möglichst einfach zu halten, werden alle Gleichungen zunächst in kartesischen Koordinaten und für linear elastisches, homogenes und isotropes Material angegeben. Anisotrope Scheiben werden erst in Kap. 5 behandelt, da einschichtige, allgemein anisotrope oder orthotrope Scheibenmodelle dort als Sonderfall enthalten sind.

Neben Rechteckscheiben haben Kreis- und Kreisringscheiben einen großen Einsatzbereich. Alle Grundgleichungen werden daher auch in Polarkoordinaten formuliert. Als Beispiel allgemeiner Koordinatentransformationen für nichtorthogonale Koordinaten wird die Scheibengleichung in schiefwinkligen Koordinaten abgeleitet und ihre Anwendung auf Parallelogrammscheiben demonstriert.

Ausgehend von der Scheibengleichung für statische Belastungen werden durch Einbeziehung der Trägheitskräfte und zeitabhängiger Belastungen die Schwingungsdifferentialgleichungen für Scheibentragwerke angegeben. Temperaturbelastungen bleiben in diesem Kapitel ausgeschlossen. Sie werden wegen ihrer zunehmenden Bedeutung im Kap. 7 separat behandelt.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

3. Schubstarre Platten mit kleinen Durchbiegungen

In diesem Kapitel werden die Gleichungen der klassischen Plattentheorie abgeleitet. Im Unterschied zur Scheibentheorie werden jetzt nur die Belastungen einbezogen, die zu einer Krümmung und/oder Drillung der Plattenmittelfläche führen. Das sind z. B. Flächen-, Linien- oder Einzelkräfte rechtwinklig zur Plattenmittelfläche, aber auch Randmomente oder Randkräfte.

In Analogie zum Kap. 2 werden alle Gleichungen in Abschn. 3.1 zunächst in kartesischen Koordinaten angegeben. Neben den Rechteckplatten haben insbesondere Kreis- und Kreisringplatten besondere Bedeutung für die Baupraxis. Alle Gleichungen werden daher ausführlich auch in Polarkoordinaten abgeleitet. Am Beispiel schiefwinkliger Platten wird die Transformation der Plattengleichungen in nichtorthogonale Koordinaten demonstriert.

Für die in den Abschn. 3.2 aufgenommenen Beispiele gilt das gleiche Auswahlprinzip wie in Abschn. 2.2. Erläutert werden die Möglichkeiten analytischer Lösungen für Standardmodelle der Plattentheorie. Dabei erfolgt im wesentlichen eine Beschränkung auf ausgewählte elementare Lösungen und auf die Anwendung von Fourierreihenlösungen. Die Näherungsverfahren von Ritz und Wlassow/Kantorowitsch sowie von Galerkin werden beispielhaft erläutert.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

4. Schubelastische Platten mit kleinen Durchbiegungen

Zusammenfassung

Die klassische Plattentheorie, die dem Modell der schubstarren Platte mit kleinen Durchbiegungen entspricht, hat sich für viele praktische Anwendungen bewährt, falls die Platten hinreichend dünn (z. B. h/Min(\(l_{1},l_{2})<0{,}1\)) und die Durchbiegungen klein im Verhältnis zur Plattendicke sind (\(w/h<0{,}2\)). Auch für Platten mittlerer Dicke (z. B. h/Min(\(l_{1},l_{2})<0{,}2\)) kann, falls die Durchbiegungen auch weiterhin klein bleiben, ein zweidimensionales, lineares Plattenmodell Grundlage einer statischen oder dynamischen Strukturanalyse sein. Wie bereits aus der Balkentheorie bekannt, nimmt aber mit zunehmender Dicke h der Einfluss der Schubverformungen in Querrichtung zu. Dies ist auch der Fall, wenn, wie bei Laminat- oder Sandwichplatten (s. Kap. 5), der Plattenquerschnitt wesentlich schubweicher als bei einer Stahl- oder Betonplatte ist. Hinzu kommt ein theoretischer Aspekt, die Probleme der Formulierung korrekter Randbedingungen zu lösen, und ein numerischer Aspekt, die Ableitung sog. C ⁰-stetiger finiter Plattenelemente zu vereinfachen.

In diesem Kapitel werden Differentialgleichungen und Randbedingungen für schubelastische Platten abgeleitet und für ausgewählte Standardbeispiele deren Anwendung erläutert.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

5. Anisotrope Scheiben und Platten

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist eine Einführung in die Berechnung von anisotropen Scheiben und Platten. Diese Aufgabenklasse hat auf Grund zahlreicher Anwendungen in der Luft- und Raumfahrt, im Leichtbau, im Bauingenieurwesen und anderen Bereichen an Bedeutung gewonnen. Diese Einführung in die Modellierung und Berechnung anisotroper Flächentragwerke soll die Einarbeitung in spezielle Lehrbücher zu den Laminat- und Sandwichtragwerken, für die hier stellvertretend Mālmeisters u. a.; 1977; Mālmeisters, Tamužs, und Teters; 1977; Altenbach u. a.; 1996; Altenbach, Altenbach, und Rikards; 1996; Reddy; 1997 genannt werden sollen, erleichtern. Gleichzeitig soll die Verbindung zur Theorie orthotroper Platten, z. B. Marguerre und Wörnle; 1975, geschaffen werden.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

6. Schubstarre Platten mit großen Durchbiegungen

Zusammenfassung

In den Kap. 3 bis 5 wurden Plattenmodelle behandelt, die ausschließlich für den Fall kleiner Verformungen gelten. In der Praxis können in bestimmten dünnwandigen Bauteilen mäßige (finite) Durchbiegungen auftreten. Wichtige Anwendungsfälle liegen z. B. bei nichtlinearem Werkstoffverhalten (zeitabhängige Kriechvorgänge, belastungsabhängige Plastizität) sowie bei Stabilitätsuntersuchungen mit Analysen der Formänderung in überkritischen Bereichen. Mit zunehmenden Durchbiegungen können geometrisch-nichtlineare Terme in den kinematischen Gleichungen nicht mehr vernachlässigt werden. Weiterhin entstehen bei finiten Durchbiegungen Membrankräfte, die zu einer Kopplung der Scheiben- und Plattenschnittgrößen führen und somit den Gleichgewichtszustand der Platte wesentlich beeinflussen. Wird dieser Einfluss vernachlässigt, liefern geometrisch-lineare Modelle (Theorien 1. Ordnung) nur eine erste Abschätzung zum Verformungs- und Spannungszustand sowie eine wesentliche Überschätzung der Durchbiegungen bzw. eine Unterschätzung der Tragfähigkeit dünnwandiger Bauteile.

In diesem Kapitel wird eine Theorie dünner Platten mäßiger Verformungen (infinitesimale Verzerrungen, aber finite Durchbiegungen) eingeführt. Bei der Formulierung der Grundgleichungen werden die kinematischen Annahmen der Theorie schubstarrer Platten sowie isotropes, linear elastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt. Geometrisch-nichtlineare Modelle für schubelastische und anisotrope Platten können der Spezialliteratur, z. B. Chia; 1980 und Reddy; 1997, entnommen werden.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

7. Temperaturbeanspruchte Scheiben und Platten

Zusammenfassung

In der Strukturmechanik werden Verzerrungen und Spannungen nicht nur durch Kraftwirkungen, sondern auch durch Temperaturänderungen verursacht. Für elastische Modellkörper gelten dann die allgemeinen Gleichungen der Thermoelastizität (z. B. Nowacki; 1980).

Für kleine Temperaturänderungen und kleine Verformungen sind die Wärmeleitungsgleichung und die Bewegungsgleichungen linear elastischer Körper zwar linear, aber miteinander gekoppelt, d. h., Verzerrungen und Temperaturänderungen sind auch im Rahmen der Thermoelastizität miteinander verbunden (s. z. B. Altenbach; 2015). Der Einfluss dieser Kopplung ist aber in vielen Fällen nicht signifikant, und er wird daher vernachlässigt. Ferner wird angenommen, dass die Temperaturänderungen langsam ablaufen und keine Trägheitskräfte hervorrufen. Für ausgewählte Anwendungen, wie z. B. Thermoschockprobleme, ist eine solche Vernachlässigung nicht zulässig.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

8. Direkte Formulierung von Theorien für ebene Flächentragwerke

Zusammenfassung

Im nachfolgenden Kapitel wird ein alternativer Zugang zur Formulierung der Grundgleichungen für ebene Flächentragwerke vorgestellt. Dabei wird zunächst auf die Betrachtung des dreidimensionalen Kontinuums verzichtet. Statt dessen wird eine deformierbare ebene Fläche eingeführt, deren Punkte bestimmte physikalische Eigenschaften zugeordnet werden. Nach Ableitung der Grundgleichungen erfolgt in einem zweiten Schritt die Herleitung der konstitutiven Gleichungen. Im Abschn. 8.1 wird das reine Plattenproblem dargestellt. Damit erhält man eine Theorie, die Analogien zum Kap. 4 aufweist. Im Abschn. 8.2 folgt dann das gekoppelte Scheiben-Plattenproblem. Die entsprechende Theorie weist Analogien zum Kap. 5 auf. Den Abschluss dieses Kapitels bildet im Abschn. 8.3 ein Anwendungsbeispiel. Zu den Grundlagen der Kontinuumsmechanik und der Tensorrechnung wird an dieser Stelle auf Altenbach (2015) und Lebedev u. a. (2010); Lebedev, Cloud, und Eremeyev (2010) verwiesen.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

9. Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung

Bei der lehrbuchmäßigen Darstellung der Theorie ebener Flächentragwerke haben sich die Autoren bemüht, das klassische Wissen bezüglich der Scheiben, der Kirchhoff-, der Mindlin- und der von Kármán-Platten zusammenzufassen und mit Hilfe zahlreicher Beispiele für typische Scheiben- und Plattenmodelle analytische Lösungswege in Abhängigkeit von der Geometrie und der Lagerung zu diskutieren. Ferner wurden die Möglichkeiten und die Grenzen der Näherungsverfahren für das Gesamtgebiet nach Ritz, Galerkin, Wlassow und Kantorowitsch für ebene Flächentragwerke beispielhaft erläutert. Neben der Behandlung isotroper ebener Flächentragwerke bei mechanischer Beanspruchung wurden Erweiterungen auf anisotropes Materialverhalten sowie auf thermische Beanspruchungen vorgenommen, da diese Erweiterungen wegen ihrer zunehmenden Bedeutung für viele Anwendungen in der Aus- und Weiterbildung ihren Platz finden müssen. Bewußt wurden die numerischen Diskretisierungsverfahren (Finite-Elemente-Methode, Finite-Differenzen-Verfahren, Randintegralmethode) aus der Betrachtung ausgeschlossen, da hierzu in den letzten Jahren zahlreiche Bücher erschienen sind, auf die zumindest teilweise im Literaturverzeichnis verwiesen wird (Altenbach; 1982; Altenbach und Fischer; 1991; Gaul und Fiedler; 1997; Hinton; 1988; Hinton u. a.; 1990; Hinton, Owen, und Krause; 1990; Kämmel u. a.; 1988; Kämmel, Franeck, und Recke; 1988; Knothe und Wessels; 1991; Pfau u. a.; 1987; Pfau, Wiebeck, und Kmiecik; 1987; Szilard; 1990).

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

10. Mathematische Hilfsmittel

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden mathematische Hilfsmittel, die für die Formulierung und für die Lösung von Randwertaufgaben für Scheiben und Platten einsetzbar sind, zusammengefasst. Im Abschn. 10.1. werden Grundlagen der Variationsrechnung erläutert. Im Abschn. 10.2 sind Reihentwicklungen und Integraltransformation, die für die Lösung gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen besondere Bedeutung haben, dargestellt. Für die Formulierung der Scheiben- und Plattengleichungen, die keine Rechteckform haben, ist es meist zweckmäßig, der Scheiben- bzw. Plattengeometrie entsprechende Koordinaten zu verwenden. Im Abschn 10.3 werden die allgemeinen Transformationsregeln und ihre Anwendungen beispielhaft erläutert. Der Abschn 10.4 fasst Fourierreihen und Fourierintegrale für ausgewählte Scheibenaufgaben zusammen. Das Tragverhalten hoher wandartiger Träger kann vielfach mit guter Näherung mit dem Modell der Halbebene abgeschätzt werden. Die entsprechenden Lösungsansätze sind im Abschn. 10.5. dargestellt. Im Abschn 10.6 ist die Reduktionsmethode nach Kantorowitsch, die für analytische Näherungslösungen zahlreicher Aufgaben einsetzbar ist, erläutert. Für die näherungsweise Plattenberechnung haben Systeme von Eigenfunktionen besondere Bedeutung. Beispiele dafür sind im Abschn. 10.7 angegeben.

Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko

Backmatter

Titel: Ebene Flächentragwerke
verfasst von: Holm Altenbach
Johannes Altenbach
Konstantin Naumenko
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-47230-9
Print ISBN: 978-3-662-47229-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-47230-9