Modellierung der Zinsstruktur in Deutschland

Während durch die Arbeit von Black/Scholes (1973) ein Standardmodell zur Bewertung von Aktienoptionen vorliegt, gestaltet sich die Bewertung von Zinsoptionen weitaus schwieriger. Hier ist nicht nur die Stochastik eines Preises, sondern einer (Null-Koupon-)Zinsstrukturkurve zu beschreiben. Es liegen eine Vielzahl von Modellen vor (z.B. Vasicek (1977), Cox/Ingersoll/Ross (1985), Ho/Lee (1986), Hull/White (1990), Heath/Jarrow/Morton (1992), um einige zu nennen), deren Spezifikation der stochastischen Differentialgleichung der Faktoren oft willkürlich ist. Sie haben unterschiedliche partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für Null-Koupon-Anleihepreise zur Konsequenz, die wiederum andere Optionspreise bzw. andere Zinsstrukturkurven induzieren. Es stellt sich die Frage, inwiefern eine empirische Analyse zur Modellauswahl beitragen kann. Allerdings treten bei der Übertragung der Theorie auf empirische Daten gewichtige Probleme auf, deren Bewältigung die ökonometrische Forschung vor große Herausforderungen stellt. Entsprechende Ansätze sollen zusammenfassend herausgearbeitet und einige davon in eigenen empirischen Studien angewandt werden. Somit begreift sich diese Arbeit als ein in das Thema der Zinsstrukturmodelle und die damit verbundenen empirischen Arbeiten generell einführender Beitrag. Insbesondere soll eine Brücke geschlagen werden zwischen der mathematischen Finanzierungstheorie und der modernen ökonometrischen Forschung.

Zinsstrukturmodellen lassen sich danach unterscheiden, ob sie den kurzfristigen Zins als integrierten oder stationären Prozeß modellieren.Insbesondere unterstellt eine stochastische Differentialgleichung mit Mittelwerttendenz (mean reversion) für den Prozeß des zurgrundeliegenden Faktors Stationarität.¹ Während in der empirischen finanzwirtschaftlichen Literatur zu Zinsstrukturmodellen Zinsen als Zufallsvariablen satationärer Prozesse gelten, gehen empirische makroökonomische Arbeiten meist von I(1)-Prozessen aus. Aït-Sahalia (1996) erklärt dies damit, daß dort die Daten eine zu niedrige Frequenz aufweisen; Tests seiner Arbeit auf der basis von Tagesdaten lassen auf eine I(0)-Eigenschaft schließen.² Dem ist entgegenzuhalten, daß gemäß der Monte-Carlo-Studien in Perron (1991) die Aussagekraft (Power) gebräuchlicher Stationaritätstests weniger. Stock/Watson (1993) führen aus, daß Zinsen konzeptionell nicht als Zufallsvariablen von I(1)-Prozessen gelten können. Ein Prozeß mit zeitabhängiger Varianz hat bei unendlichem Zeithorizont negative Beobachtungswerte zur Folge, Nominalzinsen hingegen sindimmer positive. Folglich kann das Testergebnis der Nicht-Stationarität bei Zinsen nur im beschränten Beobachtungszeitraum begründet sein.Dem ist wiederum entgegenzuhalten, daß ein integrierter Prozeß mit positiver Wahrscheinlichkeit einem Pfad mit ausschließlich positiven Werten folgen kann. Dennoch ist aber ex antedie Wahrscheinlichkeit negativer Beobachtungswerte in der Zukunft strikt positive. Der erste Unterabschnitt dieses Kapitels ist dieser Problematik gewidmet.

Im Gegensatz zu den gleichgewichtstheoretischen Modellen, die mittels einer Spezifikation der stochastischen Differentialgleichung des Momentanzinssatzes die Preise von Null-Koupon-Anleihen oder Derivaten bestimmen, wird jetzt die gesamte Zinsstrukturkurve als gegeben betrachtet.

Nachdem eine ausführliche Einführung in die finanztheoretischen Zinsstrukturmodelle gegeben wurde, sind eine Reihe von empirischen Voruntersuchungen behandelt worden. Hierzu gehört eine Diskussion des Integrationsgrades von Zinsen, über den alternative gleichgewichtstheoretische Zinsstrukturmodelle unterschiedliche Annahmen treffen. Zu unterscheiden sind Modelle, die von stationären oder von nicht-stationären Zinsprozessen ausgehen. Letztere lassen sich in die mit deterministischem und die ohne deterministischen Trend unterteilen. Eine empirische Analyse zeigt, daß Zinsen in linearen, parametrischen Modellen als nicht-stationäre Variablen ohne Trend zu modellieren sind. Dies hat eine einfache stochastische Differentialgleichung für den Mittelwert zur Konsequenz, da auf eine Spezifikation mit Mittelwerttendenz verzichtet werden kann. Im Rahmen der Voruntersuchungen wurden des weiteren die Faktorenanalyse bei stationären als auch bei nicht-stationären Zinsprozessen, die Schätzung einer stetigen Null-Koupon-Zinsstrukturkurve anhand von diskreten Koupon-Anleihepreisen und die Schätzung zeitstetiger Modelle mit zeitdiskreten Daten behandelt. Multivariate ökonometrische Methoden dienten zur Herausarbeitung von Charakteristika der Zinsstruktur in Deutschland, an deren Erklärung sich die Modelle messen lassen müssen.