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2017 | Buch

Stochastik

Diskrete Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik

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Über dieses Buch

Die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie werden in diesem Buch ausführlich und verständlich diskutiert. Mit vielen exemplarisch durchgerechneten Aufgaben, einer Vielzahl weiterer Problemstellungen und ausführlichen Lösungen bietet es dem Leser die Möglichkeit, die eigenen Fähigkeiten ständig zu erweitern und kritisch zu überprüfen und bilden so die Grundlage für ein solides Verständnis der Materie. Die realitätsnahen Anwendungen ermöglichen einen Ausblick in die breite Verwendbarkeit dieser wichtigen Theorie.

Auf die Entwicklung der Begriffsbildung und mathematischen Konzepte wird besonderer Wert gelegt, so dass man Ihre Bedeutung bei der Erzeugung wie auch ständige Verbesserung von Forschungsinstrumenten für die Untersuchung unserer Welt erleben kann.

Gerichtet ist das Buch an Gymnasiasten, Studienanfänger an Hochschulen, Lehrer und Interessierte, die sich mit diesem Gebiet vertraut machen möchten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Über Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist eine erste Begegnung mit dem Konzept der Wahrscheinlichkeit. Wir wollen eine Vorstellung davon gewinnen, was Wahrscheinlichkeiten sind und wie man sie nutzen kann, um Vorhersagen bei Prozessen zu treffen, die bei gleichen Anfangsbedingungen unterschiedlich ausgehen können.
Eine der ersten Fragen, die wir in diesem Buch behandeln werden, lautet: Wann ist ein Ereignis zufällig? Die einfachste Antwort ist: Wenn man sein Auftreten nicht vorhersagen kann. Wir haben also eine Situation wie den Münzwurf oder das Würfeln, bei der unterschiedliche Ergebnisse auftreten können: Kopf und Zahl oder die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. In der Praxis ist es unmöglich, den Ausgang durch Berechnungen zu bestimmen.
Natürlich ist es richtig, dass das Resultat im Prinzip aus genauer Kenntnis der Ausgangssituation berechnet werden könnte. Die Anzahl der dafür benötigten Informationen ist jedoch enorm: die genaue Lage, die Geschwindigkeit beim Verlassen der Hand, die Drehgeschwindigkeit, die Beschaffenheit des Bodens wie auch die Strömungen in der Luft. Zudem wären die notwendigen Berechnungen äußerst aufwendig. Es ist daher sinnvoller, ein Modell zu suchen, in welchem dies nicht erforderlich ist und das uns dennoch nützliche Informationen über den Ausgang liefern kann, wenn auch nicht das exakte Resultat.
Michael Barot
2. Modellieren von einfachen Zufallsexperimenten
Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir, Zufallsexperimente mathematisch zu modellieren. Im Zentrum unseres Interesses liegen die fundamentalen Regeln des Rechnens mit Wahrscheinlichkeiten, die es uns ermöglichen, aus bekannten Tatsachen über ein Zufallsexperiment die fehlenden Informationen zu berechnen und somit auch Vorhersagen über das Verhalten eines Zufallsexperimentes in einer langen Folge von Wiederholungen zu treffen.
Wiederholen wir zunächst die grundlegenden Begriffe, die wir in Kap. 1 eingeführt haben. Betrachten wir nochmals das Werfen eines Würfels. Es gibt sechs mögliche Resultate, auch Ergebnisse genannt, die wir einfach mit den Zahlen von 1 bis 6 bezeichnen und die die Anzahl der Augen der Würfeloberseite angeben. Wir fassen diese Ergebnisse nun zu einer Menge zusammen:
$$S=\{1,2,3,4,5,6\}.$$
Die Menge S nennen wir den Ergebnisraum des Würfelns. Der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments enthält alle möglichen Resultate des Zufallsexperiments. Beim Würfeln sind es offensichtlich die sechs Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Michael Barot
3. Mehrstufige Zufallsexperimente und Zählen elementarer Ereignisse
Zusammenfassung
In Kap. 2 haben wir schon den doppelten Wurf eines Würfels oder den mehrfachen Münzwurf betrachtet. Diese Zufallsexperimente kann man auch als Zusammensetzung einfacher Experimente des Würfelns oder des Münzwurfs ansehen. Hier werden wir zuerst lernen, wie man systematisch eine solche Zusammensetzung modelliert und wie man aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines einfachen Experiments oder mehrerer einfacher Experimente die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines zusammengesetzten Experiments bestimmen kann.
Bei komplexeren mehrstufigen Experimenten ist es manchmal nicht einfach zu bestimmen, wie viele Ergebnisse zu einem Ereignis gehören. Wie viele Ergebnisse sind zum Beispiel in dem Ereignis enthalten, dass beim fünffachen Würfeln fünf unterschiedliche Zahlen fallen?
Ohne dies zu wissen, können wir die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses nicht bestimmen. Deswegen ist unser zweites Ziel, einige grundlegende Kenntnisse der Kombinatorik zu erwerben, die uns helfen werden, solche Fragestellungen richtig zu beantworten.
Michael Barot
4. Anwendungen in Biologie, Kryptologie und Algorithmik
Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde einerseits entwickelt als ein Instrument zur Untersuchung unserer Welt und half bei der Erzeugung vieler Durchbrüche insbesondere in der Physik und der Biologie. Andererseits spielte die Wahrscheinlichkeitstheorie eine wesentliche Rolle beim Entwurf und bei der Entwicklung von technischen Systemen. Die Zielsetzung dieses Kapitels ist es, drei eindrucksvolle Beispiele zu zeigen, die die Stärke von Wahrscheinlichkeitskonzepten in der Biologie, der Kryptographie und beim Algorithmenentwurf belegen. In der Populationsgenetik zeigen wir, wie man Naturgesetze mittels Wahrscheinlichkeitsrechnungen entdecken, erklären und begründen kann. In der Algorithmik zeigen wir, wie man mit Hilfe von Zufallsentscheidungen exponentiell viel Arbeit sparen kann. In der Kryptographie zeigen wir, wie Wahrscheinlichkeitsüberlegungen zum Entwurf eines pfiffigen Kryptosystems führen können und wie tiefgreifendere statistische Konzepte bei der Kryptoanalyse dieses Kryptosystems zum Durchbruch führen können.
Michael Barot
5. Kombinatorik
Zusammenfassung
Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Ereignisse müssen wir oft die Anzahl von Objekten bestimmen, die eine spezielle Eigenschaft haben. Es gibt einen eigenen Zweig der Mathematik, der sich mit dem Auszählen von Anordnungen beschäftigt, er heißt Kombinatorik. Wir haben bereits drei Zählstrukturen angetroffen, nun sollen noch drei weitere grundlegende Zählstrukturen besprochen werden. Eine davon ist besonders wichtig: man nennt diese Art von Anordnungen Kombinationen. Mit ihr können wir beispielsweise herausfinden, wie viele 7-Tupel mit Elementen aus \(\{a,b,c\}\) mit genau drei a es gibt. Dazu reicht uns das bisherige Zählen von n-Tupeln mit Elementen aus einer m-elementigen Menge nicht.
Wir beginnen das Kapitel mit einer Übersicht über die bereits bekannten und die hier neu betrachteten Zählstrukturen. Danach werden wir entdecken, dass die Anzahl der \((k,n)\)-Kombinationen, das sind k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge, eines der Schlüsselinstrumente für die Wahrscheinlichkeitsberechnungen ist. Wir werden ihre Anwendung in einer Vielfalt von unterschiedlichen Situationen einüben.
Michael Barot
6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
Zusammenfassung
In den ersten beiden Kapiteln haben wir gelernt, Wahrscheinlichkeitsexperimente durch Wahrscheinlichkeitsräume zu modellieren und zu untersuchen. Nun soll der Frage nachgegangen werden, wie sich Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn Zusatzinformationen über den Ausgang des Zufallsexperiments bekannt werden, etwa, dass ein bestimmtes Ereignis B eingetreten ist. Wie verändern sich dadurch die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse?
Wie wir sehen werden, spielt dabei die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten eine wichtige Rolle. Zugespitzt formuliert lautet die zentrale Frage dieses Kapitels:
Was entspricht der Multiplikation zweier Wahrscheinlichkeiten?
Dieses Kapitel ist ganz der Beantwortung dieser Frage und der Verwendung der Multiplikation in Wahrscheinlichkeitsrechnungen gewidmet.
Nehmen wir an, wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum \((S,P)\), in dem wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig kennen. Jetzt erhalten wir eine Zusatzinformation über den Ausgang des Experimentes. Diese Zusatzinformation kann im Prinzip ein beliebiges nichtleeres Ereignis \(B\subseteq S\) sein.
Michael Barot
7. Zufallsvariablen und Erwartungswerte
Zusammenfassung
Eine der Hauptaufgaben der Wissenschaft ist es, die Realität zu modellieren und zu analysieren, mit dem Ziel, am Ende Vorhersagen über das Geschehen in der Zukunft zu machen oder gezielt die Zukunft zu beeinflussen. Das betrifft die Wahrscheinlichkeitstheorie im gleichen Maße wie andere Teile der Mathematik oder die Naturwissenschaften. Obwohl wir in einzelnen Zufallsexperimenten nicht vorhersagen können, was passieren wird, können wir mittels zahlreicher Wiederholungen des Experiments gewisse erwartete Charakteristiken bestimmen und so sehr nützliche und auch zuverlässige globale Vorhersagen machen. Wenn man zum Beispiel eine riesige Menge von Teilchen hat und das Verhalten jedes einzelnen Teilchens als ein Basiszufallsexperiment modellieren kann, kann man hochzuverlässige Vorhersagen über das ganze physikalische System machen. Genauso ist beim gleichzeitigen Wurf von Milliarden von Münzen zu erwarten, dass die Anzahl der Köpfe und der Zahlen ungefähr gleich ist. Obwohl wir es nicht schaffen, das Berechnen eines Teilchens (das Resultat eines Münzwurfs) vorherzusagen, können wir fast mit Sicherheit einige Charakteristika eines Systems bestimmen, das aus einer großen Anzahl von Basiszufallsexperimenten zusammengesetzt ist.
Michael Barot
Backmatter
Metadaten
Titel
Stochastik
verfasst von
Prof. Dr. Michael Barot
Prof. Dr. Juraj Hromkovič
Copyright-Jahr
2017
Electronic ISBN
978-3-319-57595-7
Print ISBN
978-3-319-57594-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-57595-7