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Management Review Quarterly

Erschienen in:

01.04.2016 | State-of-the-Art

Spektrale Risikomaße: Konzeption, betriebswirtschaftliche Anwendungen und Fallstricke

verfasst von: Mario Brandtner

Erschienen in: Management Review Quarterly | Ausgabe 2/2016

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Zusammenfassung

Der Beitrag behandelt Probleme und Anwendungspotenziale bei der Übertragung der originär regulatorisch geprägten spektralen Risikomaße, einschließlich des Conditional Value-at-Risk als ihrem prominentesten Vertreter, in den Kontext betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme. Dabei werden zwei Grundformen von restriktiven, und ökonomisch unplausiblen, Randlösungstendenzen oder ,,Plunging“ offengelegt. Die erste Form von Randlösungen wird unmittelbar durch die regulatorische Axiomatik induziert und ist allen spektralen Risikomaßen inhärent. Sie bewirkt etwa, dass bei der optimalen Vermögensaufteilung zwischen einer risikofreien und einer riskanten Anlage niemals diversifiziert wird. Eine zweite Form von Randlösungen geht auf das spezielle Risikospektrum des Conditional Value-at-Risk zurück. Im Kontext optimaler Versicherungsentscheidungen mittels stop-loss-Kontrakt führt dieses dazu, dass die Versicherung bei Verwendung spektraler Risikomaße als Zielfunktion entweder gar nicht oder nur zum minimalen Selbstbehalt abgeschlossen wird. Ähnliche Schwächen finden sich auch in anderen Anwendungen, etwa bei der der Ermittlung optimaler Bestellmengen im Newsvendor-Modell. Wir können zeigen, dass diese zweite Form von Randlösungstendenzen bereits innerhalb der Klasse der spektralen Risikomaße, etwa durch die Anwendung der Subklasse der power spektralen Risikomaße anstelle des Conditional Value-at-Risk, behoben werden kann.

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Die Repräsentation (6) gilt sowohl für stetige, als auch für diskrete Zufallsvariablen. Bei der Diskussion betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme werden wir uns zu Demonstrationszwecken bisweilen auf diskrete (bzw. an anderen Stellen auf stetige) Zufallsvariablen beschränken, und werden die getroffene Beschränkung dann zu Beginn der entsprechenden Abschnitte jeweils kenntlich machen.

Für den Fall \(\rho _{\phi }(R)=-r\) ist jedes \(\beta \in [0,1]\) optimal. Wir nehmen nachfolgend ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass sich der Investor dann für die Randlösung \(\beta ^{*}=0\) entscheidet.

Die Reichweite dieses Resultats geht über die Vermögensaufteilung zwischen einer riskanten und einer risikofreien Anlage hinaus. Brandtner (2013) zeigt, dass (unter einigen schwachen Existenzbedingungen) das Separationstheorem von Tobin (1958) für spektrale Risikomaße gilt, d.h. auch wenn eine risikofreie und n riskante Anlagen existieren, stellen alle \((\mu , \rho _{\hat{\phi }})\)-Investoren ihr optimales Portfolio aus der risikofreien Anlage und dem riskanten Tangentialportfolio zusammen. Dieses ersetzt im Setting mit n riskanten Anlagen die obige riskante Anlage, sodass das Plunging erhalten bleibt.

Inwieweit sich dieses Resultat auf andere Klassen stetiger Verteilungen erweitern lässt, ist derzeit eine offene Forschungsfrage. Die Auflösung des Plunging für normalverteilte Wertpapierrenditen ist dadurch bedingt, dass spektrale Risikomaße in diesem Fall als Linearkombination von Erwartungswert und Standardabweichung (vgl. (16)) notiert werden können. Für andere (stetige) Verteilungen liegen die Verhältnisse komplizierter, insbesondere wird die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Wertpapierrenditen dann nicht vollständig durch den Korrelationskoeffizienten erfasst, sodass eine Analyse auf dem Konzept der Copulas zur vollständigen Erfassung auch nichtlinearer Abhängigkeiten aufbauen muss (z.B. Embrechts et al. 2002).

Die in diesem Abschnitt hergeleiteten Resultate können kanonisch auf beliebige reellwertige Zufallsvariablen erweitert werden. Die Annahme stetiger und streng monoton wachsender Verteilungsfunktionen stellt lediglich sicher, dass die Resultate der komparativ-statischen Analysen spektraler Risikomaße nicht durch die fehlende Eindeutigkeit der Quantilfunktion überlagert (und verkompliziert) werden.

Erneut können die hier hergeleiteten Resultate auf beliebige reellwertige Zufallsvariablen erweitert werden. Die Annahme stetiger und streng monoton wachsender Verteilungsfunktionen erleichtert die Demonstration wesentlicher Effekte, denn sie stellt sicher, dass die Resultate der komparativ-statischen Analysen nicht durch die fehlende Eindeutigkeit der Quantilfunktion überlagert werden.

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Titel: Spektrale Risikomaße: Konzeption, betriebswirtschaftliche Anwendungen und Fallstricke
verfasst von: Mario Brandtner
Publikationsdatum: 01.04.2016
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Erschienen in: Management Review Quarterly / Ausgabe 2/2016
Print ISSN: 2198-1620
Elektronische ISSN: 2198-1639
DOI: https://doi.org/10.1007/s11301-015-0116-1

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