3. Integration

Für ganzzahlige einfache Nullstellen siehe auch 14 , Aufg. 3.6.3.

Andernfalls gäbe es eine Folge \(t_{0},t_{1},t_{2},\ldots\) von Punkten in \(A\) mit \(|t_{j}-t_{i}|> \varepsilon_{n}\) für \(i\neq j\).

Nach eigenem Bericht entwickelte J. Kepler (1571–1630) seine Fassregel, als es darum ging, anlässlich der Festlichkeiten zu seiner Wiedervermählung im Jahr 1613 in Linz an der Donau das Volumen der Weinfässer in seinem Keller zu bestimmen. Diese Geschichte mag den Praxisbezug der Mathematik illustrieren.

Für welches \(x_{0}\in\mathbb{R}_{+}\) hat die Funktion \(x\mapsto\pi^{x}/x!\) ihr Maximum und wie groß ist dieses? Vgl. Abschn. 3.5.

Man spricht dann von einer regulären \(\mathrm{C}^{1}\)-Kurve.

Schon Newton hat 1686 (oder früher) bewiesen, dass jede monotone Funktion \({[}a,b{]}\to\mathbb{R}\) Riemann-integrierbar ist, vgl. 1. Buch, Abschnitt I, § 2 in Newton, I.: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London 1687 (Deutsche Ausgabe 1872, Nachdruck Darmstadt 1963).

Bei beliebigem Riemann-integrierbaren \(f\) ist \(x\mapsto\mathrm{U}_{a}^{b}(x)\) in der Regel keine Stammfunktion zu \(f\).

Diese Dinge gehen in der Mathematik oft Hand in Hand.

Im Englischen principal value (PV).

Der Integrallogarithmus \(\operatorname{Li}x\) approximiert die Primzahlfunktion \(\pi(x)\) für großes \(x\) besser als die Funktion \(x/\ln x\). – Man definiert den Integrallogarithmus gelegentlich auch durch \(\mathrm{PV}\int_{2}^{s}d\tau/\ln\tau=\operatorname{Li}s-\operatorname{Li}2\), um für \(s> 1\) die Singularität des Integranden an der Stelle \(\tau=1\) zu vermeiden. Es ist \(\lim_{s\to 1,s\neq 1}\operatorname{Li}s=-\infty\).

Da \(g(z)\) komplex-differenzierbar und damit analytisch ist, folgt die Gleichheit \(g(z)=z^{-x}\Upgamma(x)\) für alle \(z\) mit \(\operatorname{Re}z> 0\) auch aus dem Identitätssatz für analytische Funktionen.

\(x\mapsto\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-xt}\,dt\) ist die Laplace-Transformierte von \(f\), vgl. Bd. 6.

Vgl. Math. Comp. 30, 565–570 (1976).

Vgl. Proc. Symp. Analytic Comp. Complexity, 151–176 (1976).

Die Polstellen von \(\operatorname{sn}y\) liegen also nicht im Reellen.

Man beachte, dass \(\pm 1\) und \(\pm 1/k\) die Nullstellen der Polynomfunktion \((1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})\) sind.

Für Tausende weiterer solcher Formeln siehe P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Berlin 1971.

Man achte auf den Unterschied zwischen Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynomen in der Bezeichnung.

Umgekehrt verursacht jede Nullstelle ungerader Ordnung von \(\zeta(s)\) auf der kritischen Geraden einen solchen Vorzeichenwechsel. Man erweitert die Riemannsche Vermutung häufig dahingehend, dass die nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion nicht nur auf der kritischen Geraden liegen, sondern auch alle einfach sind. Mehrfache Nullstellen könnten bei numerischer Verifikation zu großen Schwierigkeiten führen, die von gerader positiver Ordnung beispielsweise könnten ganz übersehen werden.

Siehe etwa H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function, New York 1974 oder S. J. Patterson: An Introduction to the Theory of the Riemann-Zeta-Function, Cambridge 1988.

Man bezeichnet die Approximation von \(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\) durch die Riemannschen Summen \(R_{n}:=h\sum_{k=0}^{n-1}f\big(\frac{1}{2}(t_{k}+t_{k+1})\big)\), \(n\in\mathbb{N}^{*}\), als Rechteckregel.

Vgl. dazu F. L. Bauer, H. Rutishauser, E. Stiefel: New aspects in numerical quadrature, Proc. of Symp. in Appl. Math. 15, 199–218 (1963).

Dies bedeutet, dass die Näherungswerte für das Integral \(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\) dann in der Regel keine Riemannschen Summen von \(f\) sind.