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Erschienen in:

2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Heurismen der Variation

verfasst von : Wolfgang Schwarz

Erschienen in: Problemlösen in der Mathematik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Gegeben sei eine nicht-offene Problemstellung, d. h., es liegt eine Situation vor, in der ein Ausgangszustand und ein Zielzustand beschrieben sind. Eine Lösung des Problems besteht dann darin, ein Instrumentarium von Transformationen bereit zu stellen, mit deren Hilfe der Ausgangszustand in den Zielzustand überführt werden kann, und diese Wandlung damit durchzuführen.

Diese Sicht der Dinge ist einfach, aber für unsere Zwecke präzise genug. In der Literatur wird zur Abgrenzung von „Problemen“ gegen „Aufgaben“ oft noch hinterfragt, ob der Person des Problemlösers ein System von Transformationen, die den Ausgangszustand in den Zielzustand überführen, prinzipiell bekannt ist oder ob der Einsatz strategischen Wissens zur Lösung des Problems erforderlich ist: im ersten Fall ist die Rede von „Aufgaben“, im zweiten Fall spricht man von „Problemen“.

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Nächstes Kapitel Heurismen der Induktion

Dieser Begriff wurde von Dörner eingeführt.

Im Gegenuhrzeigersinn sind dies von links unten die Grüne Brücke, die Köttel-Brücke, die Hohe Brücke, die Honig-Brücke, die Holz-Brücke, die Schmiede-Brücke und die Krämer-Brücke.

Bei Bedarf findet der interessierte Leser Erläuterungen des graphentheoretischen Hintergrunds in „Elemente der Geometrie“ (Scheid / Schwarz), welches in 5. Auflage ebenfalls bei Springer-Spektrum erschienen ist.

Derjenige, der an dieser Stelle den „variablen Horizont der Evidenz“, wie es der niederländische Mathematikdidaktiker Freudenthal auszudrücken pflegte, noch nicht erreicht zu haben glaubt, kann zur Not mit dem aus dem Satz von Pythagoras zu folgernden Argument, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die längste Dreiecksseite ist, endgültig überzeugt werden.

So Pòlya 1966 im ersten Band seines Buches „Vom Lösen mathematischer Aufgaben“.

Alfred Schreiber: Lehrveranstaltungs-Materialien zur Heuristik (2002).

Carl Friedrich Gauss (1777–1855): „Disquisitiones circa superficies curvas“.

Bijektive Abbildungen, die stetig sind und deren Umkehrabbildungen ebenfalls stetig sind.

Man identifiziere einen Punkt \(P\) im Koordinatensystem mit dem Ortsvektor \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}\), dessen Standardkomponenten die Koordinaten des Punktes \(P\) im \(\mathbb{R}^{n}\) (\(n=2,\ n=3\)) sind.

Zur begrifflichen Abgrenzung der modernen analytischen Geometrie gegen die analytische Geometrie des 18. /19. Jahrhunderts spricht man auch von „Analytischer Geometrie in vektorieller Darstellung“.

Skalarprodukte auf reellen Vektorräumen sind positiv-definite, symmetrische Bilinearformen.

Hierbei werden auch Punkte als (\(0\)-dimensionale) lineare Untermannigfaltigkeiten aufgefasst.

Die Summe der quadratischen vertikalen Abstände aller Punkte der Punktwolke zu \(g\) soll minimal werden.

Benannt nach Otto Hesse (1811–1874).

Benannt nach Adolf Hurwitz (1859–1919).

Nicht notwendig mit Mitteln der Differenzialrechnung! Hier würde sogar die Scheitelpunktsbestimmung einer Parabel genügen.

H. Scheid: Wahrscheinlichkeitsrechung. Mathematische Texte, Bd. 6. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim.

Benannt nach Andrei Markow (1856–1922).

Einen Vektor mit ausschließlich nicht-negativen Komponenten, die sich zu 1 addieren, nennt man einen stochastischen Vektor; unter einer stochastischen Matrix versteht man eine Matrix, deren Spaltenvektoren sämtlich stochastisch sind.

Diese Formulierung wählte seinerzeit Willy Brandt, als er die Haltung seiner Partei zur Atomenergie kommentieren sollte.

In einem Unterricht, der sich an der Philosophie des entdeckenden Lernens orientiert, werden häufig offene Aufgabenstellungen in geeigneten Kontexten behandelt.

Auch innerhalb eines Repräsentationssystems, d. h. ohne Variation der Darstellung!

Benannt nach Thales von Milet (ca. 650–560 v. Chr.), einem der „Sieben Weisen“ Griechenlands, der sich mit Pythagoras den Ruhm des Begründers der frühgriechischen Mathematik teilt.

Claus, H. J.: Einführung in die Didaktik der Mathematik, 2. Auflage. Darmstadt 1995.

Ergänzt durch den Verfasser.

Freie und sinnklärende Übersetzung durch den Verfasser: Im Original ist die Rede von „either … or“, allerdings ist damit im mathematischen Englisch häufig auch ohne den Zusatz „(or both)“ das nicht ausschließende „oder“ gemeint, was hier angebracht wäre, da offenbar beide Bedingungen simultan erfüllbar sind.

Einer der engsten Freunde des älteren Gauß, Sartorius von Waltershausen, überlieferte diese Anekdote in der Gedenkschrift „Gauß zum Gedächtnis“, Leipzig 1856.

Diese Sicht der Dinge ist auch unter dem Namen „Ehrenfelskriterium der Übersummativität“ bekannt.

Als Perzept bezeichnet man das erfahrene Ergebnis des gesamten Wahrnehmungsprozesses, also weder den physikalischen Gegenstand noch sein Abbild in einem Rezeptorensystem, sondern die Auswertung der sensorischen Informationen und ihre Einordnung in das bereits vorhandene Wissen.

Für beide Auffassungen gibt es experimentelle Bestätigungen, wahrscheinlich muss beides berücksichtigt werden.

Engel, A.: Problem-solving strategies. Springer, New York (1998).

Nach Peter/Winklmaier in Mathematik Lehren, Bd. 115 (2002).

Deshalb spielt es keine Rolle, ob man die Temperaturen auf der Kelvin-Skala oder der Celsius-Skala angibt.

Das Energiequantum, welches man \(1\,\)g einer bestimmten Substanz zuführen muss, um ihre Temperatur um \(1\,\)K zu erhöhen.

Man beachte die vorsichtige Formulierung „… stehen ungefähr zur Verfügung, …“ in der Problemformulierung!

Idee der Aufgabe nach Engel, A.: Problem-solving strategies. Springer, New York (1998).

Kanten der Ordnung \(0\) werden als isolierte Kanten, Kanten der Ordnung \(1\) als Schlingen (loops) bezeichnet.

Darunter versteht man die Verkettung einer Parallelstreckung an einer Achse \(a\) in Richtung einer Geraden \(b\) mit einer Parallelstreckung an der Achse \(b\) in Richtung der Geraden \(a\) bei beliebigen Streckfaktoren, wobei \(a\) und \(b\) nicht parallel sind.

Diese Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) differenzierbar, aber \(f^{\prime}\) ist an der Stelle \(x=0\) nicht stetig.

Die Funktion \(f\colon U\longrightarrow\mathbb{C}\) heißt in \(z_{0}\in U\) komplex differenzierbar, wenn es eine in \(z_{0}\) stetige Funktion \(\Updelta\colon U\longrightarrow\mathbb{C}\) mit \(f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\Updelta(z)\) für alle \(z\in U\) gibt – man beachte die formale Analogie zur Differenzierbarkeit von Funktionen \(f\colon I\longrightarrow\mathbb{R}\), \(I\subset\mathbb{R}\)!

Für einen Bereich \(U\subseteq\mathbb{C}\) nennt man \(f\colon U\longrightarrow\mathbb{C}\) holomorph in \(U\), wenn \(f\) in jedem Punkt \(z_{0}\in U\) eine Potenzreihenentwicklung mit positivem Konvergenzradius besitzt.

Jede Gerade enthalte dabei den Punkt \(z_{\infty}\).

Benannt nach Joseph Liouville (1809–1882).

Inzidenzautomorphismen affiner Ebenen heißen Dilatationen, wenn Gerade und Bildgerade stets parallel sind.

Dieser Sachverhalt kann als Pendant des Dreispiegelungssatzes in der Kategorie der affinen Abbildungen verstanden werden, denn jede affine Abbildung ist durch ein Dreieck und dessen Bilddreieck eindeutig bestimmt.

Auf der 38. Jahrestagung der GDM in Augsburg (1. März bis 5. März 2004).

K. Breinlinger: Ein Problempaket zur analytischen Geometrie. Der Mathematikunterricht 24, Heft 6 (1978). Friedrich-Verlag, Seelze.

Unter vorhandenen Möglichkeiten sollte keine bevorzugt werden, wenn es keinen zureichenden Grund für eine Unterscheidung gibt.

Hierbei handelt es sich um eine Form prämathematischen Beweisens, bei der konkrete Handlungen durch ikonische Darstellungen vorgestellter Handlungen ersetzt werden.

Erschreckenderweise gibt es auch immer mehr Studierende mathematischer Fachrichtungen, die nur über ein intuitives, bestenfalls inhaltliches, selten aber formales Verständnis des Grenzwertbegriffs verfügen.

Dies ermöglicht die Beschreibung des Spiels in Form eines gerichteten Graphen, in dem jeder Spielzug als eine gerichtete Kante zwischen den als Ecken interpretierten Zuständen eingezeichnet wird, die der Spielzug ineinander überführt.

Der das Spiel beschreibende gerichtete Graph enthält dann keine geschlossen-unikursalen gerichteten Subgraphen (circuits).

Bei Spielen, in denen es darauf ankommt, als erster einen Zustand aus einer Klasse von „Gewinnzuständen“ zu erreichen, lege man einfach definitorisch fest, dass nach dem Eintritt eines Gewinnzustandes kein legaler Zug mehr existiert.

Gross spricht in diesem Zusammenhang von einer „demokratischen Strategie“, welche das Spiel gegen einen stumpfsinnigen Gegner stumpfsinnig und gegen einen raffinierten Gegner raffiniert gestalte.

Nach den ersten drei Zügen beider Spieler sind bereits mehr als \(10^{12}\) verschiedene Spielzustände möglich!

„An alternative slang name for the game was Bathroom …“ – John Forbes Nash am 10.02.2004.

Schließlich hat \(A\) eine Gewinnstrategie!

Fields-Medaille 1962; Wolf-Preis 1989; Abel-Preis 2011.

Benannt nach Brook Taylor (1685–1731).

Meist hält die Analysis elegantere Methoden zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe bereit.

Benannt nach Jacques-Salomon Hadamard (1865–1963).

Diskutiert in Pólya: Generalization, specialization, analogy. American Mathematical Monthly 55 (1948).

„Über den Seiten …“ soll insbesondere bedeuten, dass diejenigen Ähnlichkeitsabbildungen, die \({\cal G}_{i}\) auf \({\cal G}_{j}\) abbilden, jeweils auch \(i\) auf \(j\) abbilden (\(i,j\in\{a,b,c\}\)).

N. Haas: Das Extremalprinzip als Element mathematischer Denk- und Problemlöseprozesse – Untersuchungen zur deskriptiven, konstruktiven und systematischen Heuristik. Verlag Franzbecker, Hildesheim (2000).

Auch ohne Kenntnis der Tatsache, dass Scherungen flächeninhaltstreue Abbildungen sind, kann man die Flächeninhaltsgleichheit der Dreiecke \(\Updelta ABC\) und \(\Updelta ABC^{\prime}\) daran erkennen, dass sie in Grundseite und Höhe übereinstimmen (\(\rightarrow\) Flächeninhaltsformel für Dreiecke).

Es handelt sich um die Australian Open in Melbourne, die French Open in Paris, die All England Championships in Wimbledon und die US Open in Flushing Meadows/New York.

Engel, A.: Problem-solving strategies. Springer, New York (1998).

Benannt nach James Joseph Sylvester (1814–1897).

Formuliert im Jahr 1840 von Christian Ludolf Lehmus (1780–1863) und von Jakob Steiner (1796–1865) im gleichen Jahr bewiesen.

Heft 59 (1893), S. 98, Question No. 11851.

Dieser existiert, weil jede Gerade einer Inzidenzgeometrie mindestens zwei Punkte enthält.

A. Henderson: The Lehmus-Steiner-Terquem-Problem in Global Survey. Scripta Mathematica 21 (1955).

Der Kontrapositionssatz besagt, dass die Aussage \(p\Rightarrow q\) logisch äquivalent zur Aussage \((\neg q)\Rightarrow(\neg p)\) ist, wobei mit \((\neg w)\) die Verneinung (Negation) der Aussage \(w\) bezeichnet werde.

H. Coxeter: Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, New York (1961).

Dies ist eine Folgerung aus dem Satz vom gleichschenkligen Dreieck, nach dem in jedem Dreieck \(\Updelta ABC\) die Bedingungen \(|CA|=|CB|\) und \(\sphericalangle CAB=\sphericalangle CBA\) äquivalent sind.

In der Kombinatorik spricht man in diesem Zusammenhang auch von \(k\)-Wörtern aus dem Alphabet \(L\); in dieser Terminologie bezeichnet man dann die \(i\)-te Komponente eines \(k\)-Tupels als den \(i\)-ten Buchstaben des \(k\)-Wortes.

Dies ist eine Definition für die Binomialkoeffizienten \({n\choose k}\).

Eine community card ist eine offen auf dem Tisch liegende Karte, die jeder Spieler als eine Karte seiner Hand betrachten darf; eine wild card ist eine Jokerkarte, die jede beliebige der 52 Spielkarten repräsentieren kann.

Dabei erhält jeder Spieler 7 Karten, die er ungesehen verdeckt vor sich aufstapeln muss. Nach einem simplen Verfahren, welches viele Gelegenheiten für Wetteinsätze bietet, werden alle Karten nacheinander aufgedeckt. Der Spieler mit der höchsten einzelnen Karte gewinnt.

Sofern nicht durch vorgeordnete Spielregeln einer Pokerrunde anders geregelt, entscheidet jeweils der durch Rotation wechselnde Kartengeber über die Variante von Poker, die als nächste gespielt wird.

Haben zwei Spieler im direkten Vergleich denselben höchsten Kartenwert, entscheidet der zweithöchste usw.

Jedes Pokerblatt, das mindestens eine Zwei enthält, ist offenbar bewertet, denn die Zwei als wild card kombiniert sich mit jeder weiteren Karte auf der Hand des Spielers mindestens zu einem Pokerblatt der Kategorie One Pair.

Davon überzeuge man sich am besten dadurch, dass man den Zählprozess nach der Anzahl der verwendeten wild cards additiv zerlegt und die Summenregel verwendet.

Hier zähle man partitioniert nach der Anzahl der verwendeten wild cards und innerhalb eines jeden dieser Blöcke in Abhängigkeit von dem niedrigsten von der wild card verschiedenen Kartenwert. Beispiel: Für Straight Flush mit exakt zwei wild cards und Acht als niedrigstem Kartenwert gibt es \({4\choose 2}\cdot 4\cdot{4\choose 2}=144\) Möglichkeiten (zwei aus vier der Werte \(9,10,\textit{Bube},\textit{Dame}\), in vier Farben, kombiniert mit zwei aus vier Zweien).

Zumindest dann, wenn man sich für ein möglichst gut bewertetes Blatt interessiert („high games“).

Danach ist stets \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m\), wenn die Zahlen \(a\) und \(m\) teilerfremd sind. Für Primzahlen \(m\) geht dieser Satz auf Fermat zurück, der allgemeine Fall wurde von Euler bewiesen.

Eine von der Nullfunktion verschiedene zahlentheoretische Funktion \(f\) heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde \(a,b\) stets \(f(ab)=f(a)f(b)\) gilt.

Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazard, Paris 1708.

Die Exponentialreihe \(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}\) ist für jedes \(x\in\mathbb{R}\) konvergent zum Grenzwert \(\exp(x)\).

Die Teilermenge einer Primzahlpotenz \(p^{k}\) ist durch \(T_{p^{k}}=\{1,p,p^{2},\dots,p^{k}\}\) gegeben.

Es ist \(\lVert{a}\rVert_{\infty}:=\max(|a_{1}|,\dots,|a_{m}|)=\max(a_{1},\dots,a_{m})\) für alle \(a=(a_{1},\dots,a_{m})\in A\).

Für \(n\leq r\) ist nichts zu zeigen, für \(n> r\) kann man einen Beweis durch vollständige Induktion über \(n\) führen, der im Induktionsschritt die bekannte Beziehung \({{n+1}\choose{r+1}}+{{n+1}\choose r}={{n+2}\choose{r+1}}\) benutzt, die den zeilenweisen Aufbau des Pascalschen Dreiecks ermöglicht. Im Anschluss an Beispiel 1.45 zählen wir \(|I|\) auf eine weitere Weise und geben damit einen anderen Beweis mithilfe des Prinzips des doppelten Zählens.

Dabei sei vorausgesetzt, dass sich stets mindestens zwei Personen im Hotel aufhalten; ebenso, dass die Relation „ist Bekannter von“ symmetrisch ist: Zwar kennt man den Promi an der Bar, aber zu seinen Bekannten darf man ihn dann und nur dann zählen, wenn man auch ihm bekannt ist!

In Anspielung auf die orientalischen Märchen, mit denen Scheherazade ihren König 1001 Nächte hindurch unterhielt, ist die Zahl 1001 bei den Wuppertaler Studierenden des Grundschullehramts als „Märchenzahl“ eingeführt, deren Primfaktorzerlegung \(1001=7\cdot 11\cdot 13\) man möglichst auswendig wissen sollte.

Die Koautorenschaft-Distanz zu Erdös wird augenzwinkernd mit der sog. „Erdös-Zahl“ gemessen: Erdös selbst hat die Erdös-Zahl 0, jeder seiner 504 Koautoren aus gemeinschaftlichen Arbeiten hat die Erdös-Zahl 1. Hat jemand nicht mit Erdös zusammen publiziert, aber eine Arbeit mit einem seiner Koautoren geschrieben, bekommt er die Erdös-Zahl 2 usw. Mehr als 200 000 Mathematiker haben eine Erdös-Zahl kleiner oder gleich 5.

Benannt nach dem Philosophen und Mathematiker Frank Plumpton Ramsey (1903–1930).

Halder / Heise: Einführung in die Kombinatorik. Carl Hanser Verlag, München (1976).

Titel: Heurismen der Variation
verfasst von: Wolfgang Schwarz
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Problemlösen in der Mathematik
Print ISBN: 978-3-662-56761-6

Electronic ISBN: 978-3-662-56762-3

Copyright-Jahr: 2018
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56762-3_1

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