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2013 | Buch

Grundlagen der Warteschlangentheorie

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Über dieses Buch

Dieses Buch präsentiert die Grundlagen der stochastischen Modellierung — Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Theorie stochastischer Prozesse und Markov-Theorie — in ihrer natürlichen Aufbaufolge. Damit und ergänzt durch einen Anhang zu wichtigen Begriffsbildungen der allgemeinen Topologie, werden die wesentlichen Aussagen der Warteschlangentheorie auf ein solides mathematisches Fundament gestellt. Kapitel 5 behandelt klassische Markov- und Semi-Markov-Modelle, die Phasenmethode, Markov-additive Ankunftsprozesse, das BMAP/G/1-System und Matrix-geometrische Verteilungen. Kapitel 6 ist räumlichen Ankunftsprozessen vom Typ BMAP gewidmet (Modellierung zeitlich variierender und flächenhaft verteilter Bedienanforderungen mittels zufälliger Punktfelder). Gegenstand des letzten Kapitels sind Reversibilitäts- und Balance-Eigenschaften klassischer Warteschlangennetze. Studierende der Mathematik, Informatik und Elektrotechnik führt das Buch in die breit gestreute wissenschaftliche Literatur zum Thema ein.​

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Einführung in die Maßtheorie
Zusammenfassung
Das Lebesgue-Maß λ einer im ℝ d definierten reellen Funktion wird in der Analysis als Einschränkung einer Mengenfunktion μ L (des sog. äußeren Lebesgue-Maßes) auf eine Mengenfamilie erklärt, über der μ L (und damit λ) additiv ist. Dieses Vorgehen läßt sich auf allgemeinere Räume übertragen und spiegelt den historischen Zugang zur Maßtheorie wider, in der die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie verankert ist. In diesem Kapitel werden u. a. die Grundeigenschaften von Maßen, maßdefinierende und meßbare Funktionen, die Konstruktion von Maßen sowie Konvergenz und Integration in Maßräumen untersucht, einige spezielle Maße genannt und die Sätze von Radon-Nikodym (zu Dichten signierter Maße) und Fubini (zu Produkten von Maßen und Maßräumen) erläutert.
Dieter Baum
2. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
Zusammenfassung
Es ist ein Ziel des vorliegenden Buches, wesentliche Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie mathematisch präzise und in möglichst einfacher Form zu erklären, um den Anwender im Bereich der stochastischen Modellierung vor der Rolle eines „Reiters über den Bodensee“ zu bewahren. Dazu enthält dieses Kapitel Abschnitte über Zufallsvariable und Verteilungen, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Verteilungen definierende Funktionen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Folgen und Integrale von Zufallsvariablen, Moment-erzeugende Funktionen und Faltungen, Ungleichungen und Grenzwertsätze sowie die Gesetze der großen Zahlen.
Dieter Baum
3. Über stochastische Prozesse
Zusammenfassung
Ein stochastischer Prozeß \(\mathcal{X}\) über einem Wahrscheinlichkeitsraum \([\Omega,\mathcal{A}_{\sigma},\mathbb{P}]\) ist in erster Näherung aufzufassen als eine Familie {ξ t  : t ∈ T} von Zufallsgrößen ξ t  : Ω → X (T eine geeignete Indexmenge, X ein metrischer Raum). Für X = ℝ spricht man bzgl. der ξ t von reellwertigen Zufallsvariablen, für X = ℝ d (d > 1) von Zufallsvektoren. Intuitiv wird mit dem Begriff Prozeß i. a. die Vorstellung eines zeitlichen Ablaufes verbunden, daher ist im Falle T ≠ ℝ0 die Bezeichnung Zufallsfunktion angebrachter. Charakteristisch für Zufallsfunktionen bzw. stochastische Prozesse ist die i. a. komplexe stochastische Abhängigkeit der Einzelelemente ξ t . Das vorliegende Kapitel gibt einen kurzen Überblick über verschiedene Typen stochastischer Prozesse, behandelt den eindimensionalen Poisson-Prozeß und führt vertiefend in die Grundlagen der Erneuerungstheorie ein, dabei u. a. die Begriffe Erneuerungsfunktion, Erneuerungsgleichung, Erneuerungssatz und Hauptsatz der Erneuerungstheorie (Blackwell’sches Erneuerungstheorem) erläuternd.
Dieter Baum
4. Markov-Theorie
Zusammenfassung
Die Dynamik eines physikalischen Systems wird häufig am besten durch die Änderungen seiner Energiezustände beschrieben, wobei der nächste anzunehmende Energiezustand vom unmittelbar vorhergehenden – jedoch nicht von früheren Zuständen – abhängt. Hierauf gründen sich beispielhaft Thermodynamik und Elektrodynamik. Die Unabhängigkeit von Historie und Zukunft ist ein wesentlicher Faktor für die Analysierbarkeit der Systeme und charakterisiert Markov-Prozesse. Das Kap. 4 enthält die wichtigsten Resultate der Markovtheorie (für zeitdiskrete und zeitkontinuierliche Prozesse), behandelt Grenz- und Gleichgewichtsverhalten und führt in die Theorie der Semi-Markov-Prozesse und der Markov’schen Erneuerungsprozesse ein.
Dieter Baum
5. Einfache Bediensysteme
Zusammenfassung
Zu den Grundlagen der Warteschlangentheorie gehören neben wichtigen Notations-Konventionen drei Basisaussagen, deren einfacher Formulierung eine jeweils relativ tiefliegende Begründung gegenübersteht: Der Satz von Little, die PASTA-Eigenschaft und das Paradoxon der Restlebenszeit. Das vorliegende Kapitel ist nicht nur der Präsentation einiger simpler (nämlich Markov’scher) http://prod.le-tex.de/chapter/edit/51292Bediensysteme gewidmet (Modelle MM∕1, MM∕1∕K, MM∕∞, MMs, MMsK, MM∕1∕KP), sondern auch den exakten Beweisen o. gen. Aussagen. Außerdem werden die Semi-Markov-Modelle MGI∕1 und GIM beschrieben, die Phasen-Methode erläutert, Markov-additive Ankunftsprozesse beschrieben, die Analyse des BMAPGI∕1-Modells vorgestellt und die Rolle Matrix-geometrischer Verteilungen nebst deren wahrscheinlichkeitstheoretischer Begründung präsentiert.
Dieter Baum
6. Räumliche Modelle
Zusammenfassung
Telekommunikationsnetze, insbesondere Mobilfunknetze, bestehen aus räumlich verteilten Empfangs- und Sendestationen, welche Benutzeranforderungen entgegennehmen und an andere Stationen oder ggf. andere Netze weiterleiten. Das Teilnehmerverhalten ist gekennzeichnet durch zeitlich und örtlich variierende Netzzugriffe bei meist permanenter Ortsveränderung der Sender und Empfänger. Telekommunikationsnetze geben daher Anstöße zur Einbeziehung von Lokalitätsaspekten bei der Analyse von Ankunfts- und Bedienprozessen. Im sechsten Kapitel werden Markov-additive Ankunftsprozesse im Raum sowohl bzgl. ihres gebietsspezifischen Verhaltens als auch bzgl. ihrer – verschiedene Teilgebiete erfassenden – endlich-dimensionalen Verteilungen untersucht. Als spezielle Varianten der räumlichen Gruppenankünfte stehen Poisson-Punktfelder und „markierte“ BMAPs im Fokus der Analyse.
Dieter Baum
7. Einfache Warteschlangennetze
Zusammenfassung
Warteschlangennetze repräsentieren zentrale Instrumente der Leistungsmodellierung von Rechnernetzen, Mobilfunk-Systemen und anderen vernetzten Konstrukten rechnerbasierter Dienstleistungsstationen. Ihre Analyse ist im Falle nicht Markov’scher Eingangsströme und Bedienzeitverteilungen i. a. äußerst kompliziert – wenn nicht gar unmöglich; daher sind die derzeit vorliegenden Resultate fast ausschließlich auf Netze mit speziellen Reversibilitäts- und Balance-Eigenschaften beschränkt. Die wichtigsten Eigenschaften derartiger zu den einfachen Netzen zu zählen Systeme werden im siebenten Kapitel kurz rekapituliert. Dabei werden folgende Punkte angesprochen: Lokale Balance und Produkt-Form, Stations-Balance und Quasi-Reversibilität, Jackson- und Gordon-Newell-Netze, Symmetrische Auswahldisziplinen und das sog. BCMP-Theorem.
Dieter Baum
Backmatter
Metadaten
Titel
Grundlagen der Warteschlangentheorie
verfasst von
Dieter Baum
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-39632-8
Print ISBN
978-3-642-39631-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-39632-8