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2015 | Buch

Einige spannende Probleme – ein Schnupperkurs Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Einführung Mathematik Primarstufe - Arithmetik

verfasst von: Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das erforderliche mathematische Hintergrundwissen für den Arithmetikunterricht in der Primarstufe so praxisnah wie möglich und theoretisch fundiert wie nötig aufzubereiten, ist ein wichtiges Anliegen dieses Bandes. Die gezielte Verwendung beispielgebundener Beweisstrategien, die später in ähnlicher Form auch in der eigenen Unterrichtspraxis eingesetzt werden können, ist hierbei hilfreich. Aber auch die Fülle anschaulicher Beispiele und die große Anzahl von Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades tragen zur eigenaktiven Auseinandersetzung mit dem Stoff und zu einem besseren Verständnis bei. Bewusst argumentieren wir in diesem Band auf verschiedenen Niveaus, die von den schon erwähnten beispielgebundenen Beweisstrategien bis hin zu formalen Beweisen reichen. So sind beim Beweisen eine gute Abstufung im Schwierigkeitsgrad und eine wechselseitige Stützung bei der Argumentation möglich. Auch die Verzahnung mathematischer Inhalte (Arithmetik) und mathematikdidaktischer Fragestellungen (Didaktik der Arithmetik) ist für uns zentral. Den Studierenden wird so der Zugang zur Arithmetik erleichtert und sie werden zugleich stärker motiviert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Einige spannende Probleme – ein Schnupperkurs
Zusammenfassung
In diesem ersten Kapitel beschränken wir uns auf die Betrachtung spezieller Summen und Differenzen natürlicher Zahlen – ein Ihnen gut vertrautes Gebiet. Wir werden hier einige spannende und leicht verständliche Probleme gemeinsam erarbeiten. Sie werden sehen, dass für Sie das Auffinden von Vermutungen und die zugehörige Begründung auf anschaulicher Ebene mit Punkt- oder Zahlenmustern leicht zu verstehen und – ein großer Vorteil! – später im Unterricht der Grundschule auch gut einzusetzen ist. Der anschließende behutsame Übergang zu Beweisen mit Variablen wird Ihnen bei dieser Vorgehensweise höchstens geringe, leicht überwindbare Schwierigkeiten bereiten und so Ihre Einstellung zur Mathematik und – dort für Sie mögliche Leistungen – positiv beeinflussen.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
2. Natürliche Zahlen und Stellenwertsysteme
Zusammenfassung
Wir beschäftigen uns in diesem zweiten Kapitel mit unserer Zahlschrift. Hierzu fragen wir uns zunächst: Was sind Zahlen?, und beantworten die Frage an dieser Stelle nur auf einem recht vorläufigen Niveau. Differenziertere Antworten aus mathematischer Sicht geben wir an späterer Stelle (vgl. Kap. 8 und 9). Anschließend vergleichen wir – nach einem kurzen geschichtlichen Abriss – unser vertrautes dezimales Stellenwertsystem mit der völlig anders aufgebauten römischen Zahlschrift. Gleichzeitig stellen wir die Frage, ob für unsere sehr effiziente Zahlschrift die Basis 10 zwingend notwendig oder nur eine unter vielen verschiedenen, gleichwertigen Möglichkeiten ist. Wir betrachten hierzu die Zahlschrift exemplarisch auch in anderen Basen als zehn, also in nichtdezimalen Stellenwertsystemen.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
3. Schriftliche Rechenverfahren im Dezimalsystem und anderen Basen
Zusammenfassung
Für eine Thematisierung schriftlicher Rechenverfahren zunächst im vertrauten dezimalen Stellenwertsystem – beispielsweise zur Auffrischung der eigenen Kenntnisse! – und anschließend exemplarisch in nichtdezimalen Stellenwertsystemen spricht in einem Einführungskurs Arithmetik für zukünftige Grundschullehrerinnen und Grundschullehrer eine Reihe von überzeugenden Argumenten. Einige hiervon listen wir an dieser Stelle schon knapp auf. Bei der Thematisierung der einzelnen schriftlichen Rechenverfahren werden wir diese Argumente noch ergänzen und vertiefen. Zum Abschluss dieses Kapitels gehen wir auf Alternativen zu den schriftlichen Rechenverfahren ein.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
4. Teilbarkeits- und Vielfachenrelation
Zusammenfassung
Wir haben die natürlichen Zahlen im zweiten Kapitel unter dem Blickwinkel ihrer Schreibweise in Stellenwertsystemen sowie im dritten Kapitel unter dem Blickwinkel der schriftlichen Rechenverfahren genauer kennengelernt. In diesem Kapitel – und auch in den beiden folgenden – untersuchen wir die natürlichen Zahlen unter dem Blickwinkel der Beziehungen ist Teiler von und ist Vielfaches von.
Zum Abschluss dieses Kapitels thematisieren wir den Folgerungsbegriff sowie die Frage der Umkehrbarkeit von Sätzen auf einem ersten – recht anschaulichen – Niveau. Beides greifen wir im fünften Kapitel noch einmal auf und vertiefen es dort.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
5. Teilbarkeitsregeln
Zusammenfassung
Wie wir im vorigen Kapitel schon gesehen haben, können wir Teilbarkeitsuntersuchungen mit Hilfe der Summen-, Differenz- oder Produktregel oft stark vereinfachen. Eine weitere, oft noch viel stärkere Vereinfachung erreichen wir durch die sogenannten Teilbarkeitsregeln, auf die wir in diesem Kapitel genauer eingehen. Wir beginnen mit besonders einfachen Teilbarkeitsregeln, bei denen allein schon anhand der Endstelle oder der letzten zwei oder drei Endstellen die Frage der Teilbarkeit entschieden werden kann. Es schließt sich die Behandlung von Quersummenregeln beispielsweise für die Teiler 3 und 9 sowie die Behandlung weiterer Teilbarkeitsregeln etwa zu den Teilern 6, 7 und 11 an. Zum Ende dieses Kapitels gehen wir anhand von ausgewählten Teilbarkeitsregeln in anderen Basen auf wichtige Unterschiede zwischen Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln ein.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
6. Teiler- und Vielfachenmengen/Mengenoperationen
Zusammenfassung
Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel zunächst mit sämtlichen Teilern und Vielfachen gegebener natürlicher Zahlen, also mit ihren Teiler- und Vielfachenmengen. Ausgehend von Sachsituationen interessieren wir uns sodann für gemeinsame Teiler bzw. gemeinsame Vielfache in zwei oder mehr Teiler- bzw. Vielfachenmengen und ihre Veranschaulichung durch Venn-Diagramme. In diesem Kontext gehen wir auf den Begriff der Menge sowie in diesem Zusammenhang naheliegende Mengenoperationen ein.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
7. Relationen und Funktionen
Zusammenfassung
Wir haben in diesem Band bislang schon häufig dasWort Relation im Zusammenhang mit der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation benutzt – ohne diesen Begriff näher zu erläutern. Wir definieren daher in diesem Kapitel zunächst allgemein den Begriff der Relation und gehen auf Veranschaulichungsmöglichkeiten ein. Anschließend erarbeiten wir spezielle Eigenschaften von Relationen. Diese Eigenschaften führen uns zu zwei wichtigen Klassen von Relationen, nämlich zu den Ordnungs- und Äquivalenzrelationen. Wie schon im Abschn. 4.3 erwähnt, ist die Teilbarkeitsrelation eine Ordnungsrelation. Die dort gemachten Aussagen erläutern und begründen wir jetzt in einem breiteren Kontext. Den Begriff der Äquivalenzrelation und die Kenntnis der Aussage, dass hierdurch stets eine Klasseneinteilung bewirkt wird, benötigen wir im achten Kapitel als Grundlage für die Einführung der natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen. Dort benötigen wir auch den Begriff der Abbildung oder Funktion, den wir in diesem Kapitel auf zwei unterschiedlichen Wegen erarbeiten. Speziell interessieren uns dort bijektive Abbildungen oder Funktionen, die wir im letzten Abschnitt dieses Kapitels behandeln.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
8. Die natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen
Zusammenfassung
Wir haben uns in diesem Band bislang schon intensiv mit den natürlichen Zahlen unter verschiedenen Gesichtspunkten beschäftigt. In diesem Kapitel stellen wir zunächst die Frage: Was ist eigentlich eine natürliche Zahl? Die Antwort hierauf gestattet es uns, das (nichtschriftliche) Rechnen und die Kleinerrelation im Bereich der natürlichen Zahlen auf „feste Füße“ zu stellen. Wir stellen diese Frage erst hier und nicht schon im ersten Kapitel, da die Antwort hierauf nicht ganz leicht ist und wir in diesem Zusammenhang auf verschiedene Begriffsbildungen und Sätze aus den vorhergehenden Kapiteln zurückgreifen. Ferner ist es wichtig, dass man vor der Präzisierung eines Begriffs zunächst reichhaltige Erfahrungen mit den zugrunde liegenden Objekten gesammelt hat. Dies entspricht auch dem historischen Weg: Vor der Präzisierung der natürlichen Zahlen, die auch noch heutigen mathematischen Anforderungen genügt, haben Menschen schon über Jahrtausende mit natürlichen Zahlen Mathematik betrieben.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
9. Die natürlichen Zahlen als Ordinalzahlen – eine knappe Skizze
Zusammenfassung
In diesem Kapitel skizzieren wir die Einführung der natürlichen Zahlen als Ordinalzahlen. Wir behandeln die Peano-Axiome und das Prinzip der vollständigen Induktion und skizzieren, wie auf dieser Grundlage die vier Rechenoperationen und die Kleinerrelation eingeführt werden können.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
10. Systematisches Zählen – Grundaufgaben der Kombinatorik
Zusammenfassung
Zu den grundlegenden Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Grundschule erwerben sollen und auf denen in der Sekundarstufe aufgebaut wird, gehört das systematische Zählen. Kombinatorische Aufgabenstellungen sind in nahezu allen Schulbüchern der Klassen 3 oder 4 vertreten.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
11. Ausblick
Zusammenfassung
Im Kap. 8 haben wir gesehen, dass im Bereich der natürlichen Zahlen zwar die Addition und Multiplikation ohne jede Einschränkung durchführbar ist, dass aber die Subtraktion und Division hier großen Beschränkungen unterliegen. Daher wird zu Beginn der Sekundarstufe der Zahlbereich der natürlichen Zahlen schrittweise erweitert mit der Zielsetzung, möglichst alle vier Rechenoperationen ohne jede Einschränkung durchführen zu können. Durch Übergang von den natürlichen Zahlen zu den Bruchzahlen (positiven rationalen Zahlen) gelangen wir zu einem Zahlbereich, in dem die Division fast uneingeschränkt durchgeführt werden kann (einzige Ausnahme: Division durch Null). Durch Übergang von den natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen kommen wir zu einem Zahlbereich, in dem die Subtraktion ohne jede Einschränkung durchführbar ist. Das Kapitel endet mit einem Ausblick auf eine mögliche vertiefte Weiterführung das Thema, Arithmetik/Zahlentheorie. Ein entsprechendes Folgeband der beiden Autoren erscheint zum Sommersemester 2015.
Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
Backmatter
Metadaten
Titel
Einführung Mathematik Primarstufe - Arithmetik
verfasst von
Friedhelm Padberg
Andreas Büchter
Copyright-Jahr
2015
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-43449-9
Print ISBN
978-3-662-43448-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-43449-9