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2015 | Buch

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Vertiefung Mathematik Primarstufe — Arithmetik/Zahlentheorie

verfasst von: Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Aufbauend auf ihrem Band „Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik“ vertiefen die Autoren elementares mathematisches Hintergrundwissen zur Arithmetik/Zahlentheorie vor allem für Lehramtsstudierende der Primarstufe. Themen des Buches sind spannende zahlentheoretische Problemstellungen als Einstieg, Teiler/Vielfache/Reste, Primzahlen unter vielen faszinierenden Aspekten und speziell als Bausteine der natürlichen Zahlen, größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches, Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem und in anderen Stellenwertsystemen, Dezimalbrüche, Restklassen/algebraische Strukturen sowie praktische Anwendungen (Prüfziffernverfahren und ihre Sicherheit). Wie schon der Einführungsband zeichnet sich auch dieses Buch durch eine sorgfältige Erarbeitung grundlegender Begriffe, eine ausführliche Darstellung der Beweise, den Einsatz verschiedener Begründungsniveaus und eine reiche Auswahl an Übungsaufgaben aus. Den Studierenden wird so der Zugang zur Arithmetik/Zahlentheorie erleichtert und sie werden zugleich stärker für eine selbstständige Auseinandersetzung mit den Inhalten motiviert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einige spannende Probleme – ein Schnupperkurs

Zusammenfassung

Zum Einstieg beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit drei überschaubaren, spannenden Problemstellungen, um so das Interesse an zahlentheoretischen Fragestellungen zu wecken:

Zahlen mit genau vier Teilern: Können wir diese Zahlen vollständig und möglichst effizient finden?
Primzahlen: Lassen sich alle natürlichen Zahlen als Summe zweier Primzahlen darstellen, wie beispielsweise \(8=3+5\)? Können wir jede Primzahl gar als Differenz von Quadratzahlen notieren wie \(11=36-25\)?
Pharmazentralnummer: Wie wirkungsvoll sind die Medikamentenbestellungen durch Apotheken beim Großhandel gegen gängige Fehler wie Vertauschen von Ziffern oder Drehfehler abgesichert?

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

2. Teiler, Vielfache, Reste

Zusammenfassung

Das zweite Kapitel ist zunächst der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation gewidmet. Nach der Definition im ersten Abschnitt untersuchen wir im zweiten die Eigenschaften, die sie als Ordnungsrelationen charakterisieren. Die Verträglichkeit mit den Rechenoperationen – und damit insbesondere die Summen-, Differenz- und Produktregeln – stehen im dritten Abschnitt im Mittelpunkt unseres Interesses, unter anderem weil wir auf diese Regeln wie auch auf die Transitivität im weiteren Verlauf dieses Bandes häufiger zurückgreifen werden.

In diesem Kapitel beschränken wir uns ferner nicht nur auf den Sonderfall, dass der Rest bei Division null ist, sondern untersuchen im vierten Abschnitt ganz allgemein auch Divisionen, bei denen ein von null verschiedener Rest auftreten kann.Wir beweisen den zentralen Satz von der Division mit Rest und führen auf dieser Grundlage im fünften Abschnitt sehr anschaulich die Restgleichheitsrelation ein und beweisen einige wichtige Eigenschaften. Bei der Ableitung der Teilbarkeitsregeln (Kap. 6) ist diese Relation sehr hilfreich, bei der Thematisierung von Restklassen/algebraischen Strukturen im Kap. 7 spielt sie die zentrale Rolle.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

3. Primzahlen

Zusammenfassung

Primzahlen besitzen verschiedene „Gesichter“. Diese lernen wir im ersten Abschnitt anhand unterschiedlicher, anschaulicher Einführungswege kennen.

Die Frage, ob es endlich viele oder unendlich viele Primzahlen gibt, beantwortete Euklid schon vor rund 2300 Jahren mittels einer genial einfachen Idee. Wir beweisen diesen sogenannten Satz von Euklid im zweiten Abschnitt. Gleichzeitig werfen wir hier einen kurzen Blick auf die faszinierende Jagd nach immer größeren Primzahlen.

Schon vor gut 2200 Jahren erfand Eratosthenes ein schnelles und effektives Verfahren zur Bestimmung sämtlicher Primzahlen bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n. Dieses sogenannte Sieb des Eratosthenes thematisieren wir im dritten Abschnitt dieses Kapitels.

Bei der Betrachtung der Verteilung der Primzahlen innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen stellen wir im vierten Abschnitt starke Unregelmäßigkeiten fest. So gibt es einerseits eng benachbarte Primzahlen (Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, \(\ldots\)) selbst noch bei sehr großen Zahlen, während es andererseits schon bei relativ kleinen Zahlen längere Primzahllücken gibt. Durch einen konstruktiven Beweis können wir sogar leicht zeigen, dass es Primzahllücken beliebiger Länge gibt.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

4. Primzahlen – Bausteine der natürlichen Zahlen

Zusammenfassung

Oft gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, gegebene natürliche Zahlen als Produkte von zwei, drei oder mehr natürlichen Zahlen zu schreiben. Beim übersichtlichen Aufschreiben verschiedener multiplikativer Zerlegungen sind Zerlegungsbäume sehr informativ und hilfreich. Durch den Vergleich verschiedener Zerlegungsbäume einer fest vorgegebenen Zahl sowie durch weitere Argumente problematisieren wir im weiteren Verlauf des ersten Abschnitts dieses Kapitels die Frage, ob wir bei allen multiplikativen Zerlegungen einer festen Zahl – trotz der unterschiedlichen Zwischenergebnisse und des z. T. äußerlich völlig verschiedenen „Aussehens“ der Zerlegungsbäume – stets zu derselben Primfaktorzerlegung gelangen.

Mithilfe des kleinsten, von 1 verschiedenen Teilers können wir zu jeder natürlichen Zahl größer als 1 mindestens eine Primfaktorzerlegung gewinnen, wie wir im zweiten Abschnitt beweisen. Dass diese sogar bei jeder natürlichen Zahl a > 1 bis auf die Reihenfolge der Faktoren stets die einzige Primfaktorzerlegung ist und damit die natürlichen Zahlen a > 1 stets nur genau eine Primfaktorzerlegung besitzen, ist die Aussage des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie. Wir können dem Hauptsatz insbesondere auch entnehmen, dass die Primzahlen multiplikative Bausteine der natürlichen Zahlen sind, dass also alle natürlichen Zahlen (größer 1) entweder selbst Primzahlen sind oder sich – bis auf die Reihenfolge der Faktoren – als eindeutiges Produkt von Primzahlen darstellen lassen.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

5. Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Zusammenfassung

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) sind die Themen des fünften Kapitels. Der ggT lässt sich sehr anschaulich mittels Teilermengen einführen (erster Abschnitt), das Verfahren über die Primfaktorzerlegung (zweiter Abschnitt) führt jedoch wesentlich schneller zum Erfolg. Der schon auf Euklid zurückgehende sogenannte Euklidische Algorithmus bringt uns selbst bei großen Zahlen ohne Bestimmung der Primfaktorzerlegung oft noch wesentlich rascher und eleganter zum Ziel. Daher behandeln wir dieses Verfahren im dritten Abschnitt. Auch das kgV führen wir – analog zum ggT – zunächst anschaulich mit Vielfachenmengen ein (vierter Abschnitt), das Verfahren über die Primfaktorzerlegung (fünfter Abschnitt) führt jedoch fast immer rascher und systematischer zum Ziel. Wegen des im sechsten Abschnitt bewiesenen Zusammenhangs zwischen ggT und kgV können wir den Euklidischen Algorithmus indirekt benutzen, um so ohne vorherige Bestimmung der Primfaktorzerlegung das kgV gegebener Zahlen zu bestimmen. Im siebten und letzten Abschnitt beweisen wir mithilfe des Euklidischen Algorithmus die überraschende Aussage, dass sich der ggT(a, b) immer als „Linearkombination“ von a und b darstellen lässt und dass dies bei teilerfremden a und b sogar für jede ganze Zahl gilt. Durch Umdeutung als sogenannte lineare diophantische Gleichung gewinnen wir sogar einen vollständigen Überblick über die Lösbarkeit dieser Gleichungen.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

6. Teilbarkeitsregeln

Zusammenfassung

Wir beschreiten in diesem Kapitel bei der Ableitung der Teilbarkeitsregeln einen klar strukturierten, sehr einprägsamen und leichten Weg, der von der üblichen Vorgehensweise deutlich abweicht und viele Vorzüge aufweist. Wir gehen hierzu von der Restgleichheit (Kongruenz) gegebener Zahlen aus (vgl. Abschn. 2.5). Auf dieser Grundlage können wir sämtliche Teilbarkeitsregeln im dezimalen wie auch in beliebigen nichtdezimalen Stellenwertsystemen aus einer einheitlichen Grundidee ableiten, nämlich aus der Idee, die Basispotenzen des gegebenen Stellenwertsystems durch möglichst kleine, zu dem jeweiligen Teiler restgleiche Zahlen zu ersetzen. Genauer reicht sogar schon in vielen Fällen die Untersuchung dreier besonders leichter Spezialfälle aus. Bei dem üblichen Weg leitet man dagegen zunächst Teilbarkeitsregeln für die Zweier- und Fünferpotenzen ab, dann auf eine andere Art und Weise für die Zahlen 3 und 9, anschließend mittels eines neuen Ansatzes – etwa über die „Märchenzahl“ 1001 – für 11 sowie eventuell für 7 und 13, schließlich noch mittels wiederum neuer Überlegungen gegebenenfalls für ausgewählte Teiler in nichtdezimalen Stellenwertsystemen.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

7. Dezimalbrüche

Zusammenfassung

Im siebten Kapitel werden systematisch die Dezimalbruchentwicklungen von (vollständig gekürzten echten) Brüchen untersucht. Bereits aus der Schule ist bekannt, dass es sowohl Brüche mit endlichen Dezimalbruchentwicklungen als auch Brüche mit unendlichen, periodischen Dezimalbruchentwicklungen gibt. Da Bruchzahlen schon in der Grundschule propädeutisch sowohl als gemeine Brüche als auch in Form von Dezimalbrüchen auftreten und der Wechsel zwischen diesen Darstellungsformen zu Beginn der Sekundarstufe I gründlich thematisiert wird, stellt dieses Kapitel also einen erweiterten fachlichen Hintergrund für den Mathematikunterricht in der Primarstufe dar. Die zentralen Aussagen werden ausgehend von konkreten Beispielen und den dort auftretenden Mustern gewonnen. Eine zentrale Rolle spielt dabei der Divisionsalgorithmus, mit dem man gemeine Brüche in Dezimalbrüche umwandeln kann und dessen Verständnis durch seine wiederholte und vertiefte Anwendung gefestigt und ausgeweitet wird. Insgesamt wird eine vollständige Übersicht über die unterschiedlichen Arten von Dezimalbruchentwicklungen gegeben.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

8. Restklassenmengen/algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Das achte Kapitel geht von dem Phänomen aus, dass es häufig genügt, nur die Reste zu betrachten, die natürliche oder ganze Zahlen bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl lassen. Diese reduzierende Betrachtung von Zahlen wird in einem ersten Schritt durch die Restgleichheitsrelation, einer Äquivalenzrelation, die bereits in Kapitel 2 untersucht wurde, formalisiert. In einem weiteren Schritt lassen sich alle ganzen Zahlen, die bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl den gleichen Rest lassen, zu einem neuen mathematischen Objekt, nämlich einer Restklasse, zusammenfassen. Formal ergeben sich diese Restklassen als Äquivalenzklassen bezüglich der Restgleichheitsrelation. Motiviert durch das Rechnen mit Resten in den Ausgangsbeispielen dieses Kapitels werden für die Restklassen Rechenoperationen (Verknüpfungen) definiert. Damit erhält man typische Beispiele für grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper. Diese abstrakten Strukturen spielen in der Mathematik an der Hochschule eine wichtige Rolle.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

9. Praktische Anwendungen – Prüfziffernverfahren

Zusammenfassung

Wir beenden diesen Band mit einem Kapitel über praktische Anwendungen der Arithmetik/Zahlentheorie. Die in den Supermärkten an (fast) allen Artikeln vorfindbaren Europäischen Artikelnummern EAN (erster Abschnitt), die bei Büchern eingesetzten Internationalen Standardbuchnummern ISBN (zweiter und dritter Abschnitt; ISBN-13 und ISBN-10) sowie die bei Medikamenten benutzte Pharmazentralnummer PZN (vierter Abschnitt) bewirken im Handel eine starke Rationalisierung. Wir zeigen in diesem Kapitel auf, wie dennoch häufige Ablese- oder insbesondere Eingabefehler bei diesen drei – und analog auch bei vielen anderen – Nummerierungssystemen durch relativ leichte Prüfziffernverfahren mehr oder weniger häufig aufgedeckt werden. Hierbei erweisen sich das ISBN-10- und das PZN-Prüfziffernverfahren als wesentlich sicherer als das ISBN-13- und das EAN-Verfahren. Bei der Begründung der Aussage über die Sicherheit dieser Verfahren greifen wir nur auf einfache, in den vorhergehenden Kapiteln abgeleitete Sätze zurück.

Friedhelm Padberg, Andreas Büchter

Backmatter

Titel: Vertiefung Mathematik Primarstufe — Arithmetik/Zahlentheorie
verfasst von: Friedhelm Padberg
Andreas Büchter
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-45987-4
Print ISBN: 978-3-662-45986-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-45987-4