Gesetze der großen Zahlen

Ist die Verteilung bzw. die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X bekannt, so läβt sich die Wahrscheinlichkeit P(|–μ|≥a) exakt berechnen. Häufig kennt man jedoch die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X nicht, wohl aber aus Erfahrungswerten ihren Erwartungswert μ und ihre Varianz σ

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. Da wir die Varianz als Maβ für die Abweichung der Werte einer Zufallsvariablen vom Erwartungswert μ. eingeführt haben, ist die Vermutung naheliegend, daβ zwischen den Abweichungswahrscheinlichkeiten (3.1) und der Varianz σ

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eine Beziehung besteht. Aussagen über einen solchen Zusammenhang macht der folgende Satz 3.1 (Die Tschebyscheffsche Ungleichung) X sei eine beliebige Zufallsvariable, deren Erwartungswert μ und Varianz σ

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existieren. Dann gilt für jede positive Zahl a die Ungleichung von Tschebyscheff P(|–μ|≥a)

3.2

$$ \frac{{o^2 }} {{a^2 }}. $$