Kreditderivate und Kreditrisikomodelle

In diesem Kapitel sollen zunächst die grundlegenden Produkte, die wesentlichen Begrifflichkeiten und die Marktumgebung eingeührt werden. Dies geschieht mit deutlichem Bezug zur jeweiligen wirtschaftlichen Bedeutung und ohne die Voraussetzung weitreichender finanzmathematischer Zusammenhänge. Ziel ist es, die in den nachfolgenden Kapiteln vorgenommene finanzmathematische Behandlung von Kreditderivaten und Kreditrisikomodellen durch eine detaillierte Darstellung des ökonomischen Umfelds hinreichend zu motivieren.

Im Mittelpunkt dieses Kapitels stehen die mathematischen Konzepte, die zur Modellierung der in Kapitel 1 beschriebenen Märkte und Produkte eingesetzt werden. Der grundlegende Rahmen, in dem wir uns hier bewegen, ist das arbitragefreie Marktmodell, welches in der modernen Finanzmathematik seit den fundamentalen Arbeiten [76, 77, 78] von Harrison & Kreps (1979) und von Harrison & Pliska (1981/1983) die theoretische Basis für die Bewertung aller Arten von Finanzinstrumenten, insbesondere Derivaten, bildet. Bereits im Jahr 1973 verwendeten F. Black und M. Scholes in ihrer epochalen Arbeit [20] die Idee der Arbitragefreiheit zur Herleitung von analytischen Optionspreisformeln. Wir werden im ersten Abschnitt das Black- Scholes- Modell vorstellen als Grundlage für die dann folgenden weitergehenden Überlegungen. Das allgemeine arbitragefreie Marktmodell führen wir im zweiten Abschnitt ein, allerdings ohne alle Einzelheiten zu beweisen, um den Umfang unserer Darstellung nicht zu sprengen. Es liefert eine universelle Bewertungsformel für kreditrisikobehaftete Produkte, bei der die konkrete stochastische Modellierung des Ausfallzeitpunktes noch nicht näher spezifiziert wird. Letzteres erfolgt im dritten Abschnitt dieses Kapitels und führt dann zu den weit verbreiteten Modellklassen der sog. Unternehmenswertmodelle sowie der Hazardraten-bzw. Intensitätsmodelle.

Zu Beginn von Kapitel 1 wurden bereits die verschiedenen Arten von Risiken dargelegt, denen sich eine Bank beim Eingehen von Gescähaften ausgesetzt sieht. Wir werden in diesem Kapitel die Verfahren zur mathematischen Modellierung und Messung von Kreditrisiken im Portfoliozusammenhang näher behandeln.

Ziel dieses Kapitels ist die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln hergeleiteten Theorie auf die Bewertung von Kreditderivaten. Die Auswahl der Produkte und deren Bewertungsmethoden orientiert sich dabei an den in der Industrie geläufigsten Produkten. Deswegen beschränken wir uns im Wesentlichen auf Credit Default Swaps (CDS) und Collateralized Debt Obligations (CDO).

Zu Beginn des Anhangs führen wir einige zentrale Begriffe ein. Zufallsvariablen beschreiben das Verhalten in Zufallsexperimenten, d.h. von einem Experiment, dessen Ausgang nicht von vorneherein festgelegt ist wie z.B. dem klassischen Würfelwurf. Hierbei beschreibt ω den Ereignisraum, d.h. die Menge aller möglichen Realisationen (beim Würfelwurf ist ω=1,2,3,4,5,6) und ω∈Ω ein mögliches Elementarereignis, d.h. eine mögliche Realisation (bspw. das Elementarereignis 6). Eine Beschreibung aller möglichen (zusammen gesetzten) Ereignisse liegt in der Potenzmenge PΩ = F: F ⊂ Ω. Uns interessieren ganz spezielle Maβe ℙ für die Mengen F ⊂ PΩ, wobei es in der Regel nicht notwendig ist, die vollständige Potenzmenge zu betrachten. Statt dessen genüt es, ein Mengensystem zu betrachten, welches drei grundlegende Eigenschaften erfüllt:

Wir betrachten im vorliegenden Zusammenhang die Entwicklung von Variablen und hierbei insbesondere deren Dynamik. Die für Zufallsvariablen in Frage kommenden analytischen Methoden basieren auf entsprechenden Methoden für deterministische Größen und umfassen insbesondere Differenzialgleichungen. Da im Rahmen dieses Buches nur die für Kreditderivate und Kreditrisikomodelle relevanten Begriffe und Zusammenhänge eingeführt werden, sei für einen vertieften Einstieg insbesondere auf folgende Monographien und Lehrbücher verwiesen: Karatzas und Shreve [98], Lamperton und Lapeyre [106], Korn und Korn [103], Schmitz (1996), [162], Krengel (1998) [105], Henze (1999) [80] sowie Øksendal [140] und Arnold [7].

Da im Verlaufe des Buches die Abhängigkeitsstrukturen eine besondere Rol le spielten (bspw. bei der Bewertung des Single Tranche CDOs), sollen diese hier kurz angerissen werden. Dies kann und soll hier jedoch nur der Veran schaulichung dienen, für tiefergehende Erkenntnisse sei auf Nelsen (2006) [135] oder auch Cherubini et al. (2004) [40] sowie die darin erwähnte Lite ratur verwiesen.