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Erschienen in:
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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

16. Proof I: Upper Bounds

verfasst von : Johannes Sjöstrand

Erschienen in: Non-Self-Adjoint Differential Operators, Spectral Asymptotics and Random Perturbations

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this chapter we study upper bounds on singular values and determinants of certain operators related to P δ. The bounds are not probabilistic; they only depend on a certain smallness of the perturbation.

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Fußnoten
1
Equation (8.​4.​7) extends to the case when A 0 and A 1 are trace-class operators as in Sect. 8.​4 and the identity is valid for finite-rank perturbations of the identity. By Taylor expansion and partitions of unity we can approximate a C 1 family A t of trace-class perturbations of the identity by a sequence of such perturbations \(A_t^{(\nu )}\) so that \(A_t^{(\nu )}\to A_t\) uniformly in C 1 and similarly for the derivatives (on any given compact interval), and so that \(\mathcal {N} (A_t^{(\nu )})^\perp \cup \mathcal {R}(A_t^{(\nu )})\subset \mathcal {H}^{(\nu )}\), where \(\mathcal {H}^{(\nu )}\) is independent of t and of finite dimension. It then suffices to pass to the limit.
 
Literatur
41.
M. Dimassi, J. Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semi-Classical Limit. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 268 (Cambridge University Press, Cambridge, 1999)
51.
A. Grigis, J. Sjöstrand, Microlocal Analysis for Differential Operators. London Mathematical Society Lecture Notes Series, vol. 196 (Cambridge University Press, Cambridge, 1994)
56.
83.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators. I–IV, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vols. 256, 257, 274, 275 (Springer, Berlin, 1983/1985)
104.
119.
D. Robert, Autour de l’Approximation Semi-classique. Progress in Mathematics, vol. 68 (Birkhäuser, Boston, 1987)
123.
R.T. Seeley, Complex powers of an elliptic operator, in Proceedings of Symposium on Singular Integrals, vol. 10, pp. 288–307 (American Mathematical Society, Providence, 1967)
137.
139.
Metadaten
Titel
Proof I: Upper Bounds
verfasst von
Johannes Sjöstrand
Copyright-Jahr
2019
Buch
Non-Self-Adjoint Differential Operators, Spectral Asymptotics and Random Perturbations

Print ISBN: 978-3-030-10818-2

Electronic ISBN: 978-3-030-10819-9

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-10819-9_16