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Erschienen in:
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2012 | OriginalPaper | Buchkapitel

Hypercubes of Duality

verfasst von : Thierry Libert

Erschienen in: Around and Beyond the Square of Opposition

Verlag: Springer Basel

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Abstract

We define hypercubes of duality—of which the modern square of opposition is an emblematic example—in proper mathematical terms, as orbits under some action of the additive group \(\mathbb{Z}_{2}^{m}\), with m∈ℕ. We then introduce a notion of dimension for duality in classical logic and show, for example, how propositional expressions in at most three variables can be classified according to that notion. The paper ends with logical formulations of some representation theorem for Galois connections on powersets, where we see an underlying square of duality.

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Fußnoten
1
There are references in various areas of logic where the notion of duality is introduced in a more general way; see [1] for instance.
 
2
These can be semantical objects (structures) as well as syntactical ones (formulas).
 
3
Throughout this paper, \(\mathbb {Z}_{2}^{n}\) will be regarded as the set of all n-uples of 0 and 1’s with addition performed component-wise and modulo 2.
 
4
Curiously, it seems there is no natural positive notation in the literature for the dual connective of ⇒, that is, the binary connective that is denoted here by ⇍. Same for ⇐.
 
5
Clearly, ι(1 3) & ι(1 4) have the same action on (p 1⇒p 2)⇔p 3, not on (p 1⇒p 2)⇒p 3.
 
6
The use of ≬ can be found in [2] for instance, but there is no notation for its negation.
 
7
Again, it seems there is no natural positive notation for the dual of the inclusion relation ⊆, that is, the binary relation that is denoted here by \(\not \supseteq\). Likewise for ⊇.
 
Literatur
1.
Adámek, J., Herrlich, H., Strecker, G.E.: Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover, Mineola (2004)
2.
Dubreil, P.: Algèbre, Tome 1, 2ième édn. Cahiers scientifiques, Fascicule XX. Gauthier-Villars, Paris (1954)
3.
Erné, M., Koslowski, J., Melton, A., Strecker, G.E.: A primer on Galois connections. In: Papers on General Topology and Applications. Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 704, pp. 103–125 (1993)
4.
5.
6.
Reichenbach, H.: The syllogism revised. Philos. Sci. 19, 1–16 (1952) CrossRef
Metadaten
Titel
Hypercubes of Duality
verfasst von
Thierry Libert
Copyright-Jahr
2012
Verlag
Springer Basel
Buch
Around and Beyond the Square of Opposition

Print ISBN: 978-3-0348-0378-6

Electronic ISBN: 978-3-0348-0379-3

Copyright-Jahr: 2012

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0379-3_20