Warum wird die Geometrie oft als «nüchtern» und «trocken» bezeichnet? Nun, einer der Gründe besteht in ihrer Unfähigkeit, solche Formen zu beschreiben, wie etwa eine Wolke, einen Berg, eine Küstenlinie oder einen Baum. Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt — und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.
«Alle Schönheit ist relativ... Wir sollten weder... glauben, daß die Ufer des Ozeans echt deformiert sind, nur weil sie nicht die Form einer regelmäßigen Ufermauer haben, noch daß die Berge keine Gestalt haben, nur weil sie keine exakten Pyramiden oder Konusse sind, noch daß die Sterne ungeschickt piaziert sind, nur weil sie nicht alle den gleichen Abstand voneinander haben. Das sind weder natürliche Unregelmäßigkeiten — außer in unserer Einbildung —, noch sind sie dem wahren Sinn des Lebens und dem Zweck der Menschen auf Erden hinderlich.» Diese Meinung des englischen Gelehrten des 17. Jahrhunderts RichardBentley, die auch in Kapitel 1 anklingt, zeigt, daß es eine uralte Idee ist, Küstenlinien, Berge und Sternmuster einheitlich zu sehen und sie Euklid gegenüberzustellen.
Eine zentrale Rolle in diesem Essay spielen die uralten Begriffe der Dimension (was Anzahl der Ausdehnungen bedeuten soll) und der Symmetrie. Außerdem begegnen uns ständig verschiedene Anzeichen von Divergenz.
Jetzt, da wir die verschiedenen Ziele dieses Essays umrissen haben, wollen wir über seine Vorgehensweise sprechen. Diese versucht ebenfalls, unterschiedliche Gesichtspunkte zusammenzufassen.
Um eine erste Kategorie von Fraktalen einzuführen, nämlich Kurven, deren gebrochene Dimension größer als 1 ist, betrachten wir das Dehnen einer Küstenlinie. Es ist völlig klar, daß die Länge einer Küstenlinie mindestens gleich dem Abstand zwischen ihrem Anfangs- und ihrem Endpunkt ist, gemessen auf einer Geraden. Eine typische Küstenlinie ist jedoch unregelmäßig und schlängelt sich, und es ist keine Frage, daß sie viel länger ist, als die Strecke zwischen ihren Endpunkten.
Um meine Interpretation des Richardsonschen D als fraktale Dimension vollständig zu verstehen, gehen wir von natürlichen Erscheinungen, über die wir keine Kontrolle haben, zu geometrisch konstruierten über, die wir nach unserem Willen gestalten können.
Da gegen Ende von Kapitel 6 verallgemeinernde Koch-Kurven behandelt wurden, die sich nicht selbst schneiden, haben wir jetzt guten Grund, kurz beim Fall D=2 zu verweilen. Wenn D den Wert 2 erreicht, erleben wir einen deutlichen qualitativen Sprung.
In diesem Kapitel soll der Leser im wesentlichen mit einem anderen mathematischen Objekt bekannt gemacht werden, das gewöhnlich als pathologisch angesehen wird, nämlich mit dem Cantor-Staub b. Dieser und anderer Staub, den wir beschreiben werden, haben fraktale Dimensionen zwischen 0 und 1.
In den Kapiteln 6 und 7 wurden die Kochschen und die Peanoschen Fraktale über die Geomorphologie eingeführt, aber die wichtigsten Anwendungen der Fraktale sind anderswo eingebunden. Dieses und die nächsten beiden Kapitel bewegen sich Schritt für Schritt auf eine Hauptrichtung der Naturwissenschaften zu und berühren zwei Kernfragen von außergewöhnlichem Alter, außergewöhnlicher Bedeutung und Schwierigkeit.
Die Untersuchung der Turbulenz ist eines der ältesten, schwierigsten und frustrierendsten Kapitel der Physik. Die alltägliche Erfahrung lehrt, daß die Strömung eines Gases oder einer Flüssigkeit unter bestimmten Umständen glatt ist. Der technische Ausdruck hierfür ist «laminar». Unter anderen Bedingungen ist sie dagegen überhaupt nicht glatt. Aber wo sollen wir eine Grenze ziehen? Sollte der Begriff «Turbulenz» alle nichtglatten Strömungen bezeichnen, einschließlich großer Teile der Meteorologie und der Ozeanographie? Oder ist es besser, ihn für eine enge Klasse zu reservieren, und wenn ja, für welche? Jeder Gelehrte scheint diese Frage anders zu beantworten.
Das vorliegende Kapitel behandelt einen ersten Zusammenhang zwischen der fraktalen Geometrie der Natur und der Hauptrichtung der mathematischen Physik. Dieses Thema ist so wichtig, daß es ein separates Kapitel verdient. Leser, deren Interessen anderswo liegen, sollten weiterblättern.
In den Kapiteln 12 und 13 werden die Eigenschaften der fraktalen Dimension durch die Betrachtung zahlreicher spezieller Beispiele von unterschiedlicher Bedeutung und zunehmender Schwierigkeit entwickelt. Kapitel 14 zeigt dann, daß die fraktale Geometrie notwendigerweise Begriffe enthält, die über die fraktale Geometrie hinausgehen.
Dieses Kapitel ist fraktalen σ-Kurven gewidmet, das heißt Fraktalen, die sich aus unendlich vielen disjunkten Kurven zusammensetzen. Die konkreten Fälle reichen von Küstenlinien der Inseln eines Archipels bis zu einem wichtigen Problem der Physik, der Perkolation. Das Material der ersten Abschnitte war in den Fractals von 1977 neu, der Rest ist es zum überwiegenden Teil jetzt.
In Kapitel 6 wurden ebene Koch-Kurven untersucht, die D< 2 genügen und keine Doppelpunkte besitzen, also selbstmeidend oder nichtverzweigend genannt werden können. In Kapitel 7 wurden Peano-Kurven untersucht, deren Doppelpunkte im Limes notwendigerweise überall dicht liegen. Im vorliegenden Kapitel erfolgt nun der nächste Schritt. Es werden Beispiele untersucht von sich gemäßigt verzweigenden selbstähnlichen Formen: ebene Kurven mit 1< D<2, räumliche Kurven mit 1< D<3 und Flächen mit 2 < D<3. Für eine sich verzweigende selbstähnliche Kurve ist die Anzahl der Doppelpunkte unendlich.
Die fraktalen Kurven, Flüchen und der fraktale Staub, die in diesem Teil beschrieben und für die Zwecke der Naturwisschenschaften gezähmt werden, besitzen nur eine asymptotische oder anderweitig eingeschrünkte Skaleninvarianzeigenschaft.
In diesem Kapitel werden filigrane fraktale Bäume und andere Fraktale besprochen, die fast — das heißt mit Ausnahme eines fraktal vernachlässigbaren Residuums — skaleninvariant sind. Wir beobachten eine Ungleichförmigkeit dieser Fraktale in dem Sinne, daß D und/oder DT für verschiedene Teile der Mengen verschiedene Werte annehmen. Im Gegensatz dazu zeigt ein Blick zurück, daß alle vorher diskutierten Fraktale als gleichmäßig charakterisiert werden können.
Dieser Essay ist zum größten Teil Fraktalen gewidmet, die entweder gegenüber Ähnlichkeitstransformationen vollständig invariant oder wenigstens «fast» selbstähnlich sind. Es kann daher beim Leser der Eindruck entstehen, daß der Begriff des Fraktals mit der Selbstähnlichkeit verheiratet ist. Das ist zwar ganz und gar nicht der Fall, aber die fraktale Geometrie muß nun einmal mit den fraktalen Gegenstücken der Geraden beginnen — nennen wir sie «lineare Fraktale».
In diesem Kapitel wollen wir zwei ganz einfache Familien nichtlinearer Transformationen betrachten und gewisse fraktale Mengen untersuchen, die gegenüber diesen Transformationen invariant sind und für die diese Transformationen als Generator dienen können.
Dieses Kapitel möchte den Leser mit einer Theorie bekannt machen, die sich unabhängig von den Fraktalen entwickelt hat, aber von ihnen durchdrungen wird. Ihre am meisten verbreitete Bezeichnung heißt «Theorie seltsamer47 Attraktoren und chaotischer (oder stochastischer) Evolutionen», aber in diesem Kapitel wird — so hoffe ich — klarwerden, warum sie in der Überschrift einen neuen Namen bekommen hat.
Obwohl die grundlegenden fraktalen Begriffe bereits an deterministischen Konstruktionen erläutert werden können, offenbaren sie ihre volle Bedeutung und praktische Nützlichkeit erst im Zusammenhang mit zufälligen Fraktalen. Und umgekehrt scheint es (wenigstens dem Autor), daß das Studium der Fraktale das Verständnis für den Zufall erweitert.
Beim Aufzählen der üblichen Vorzüge der Zufälligkeit im vorangegangenen Kapitel wird kein Unterschied zwischen den Standard- und den frakta-len Modellen gemacht. Im Zusammenhang mit den Standardmodellen bringt eine Randomisie-rung zwar beachtliche Verbesserungen, aber nichtzufällige Modelle bleiben für viele Zwecke akzeptabel. Wir wollen nun zeigen, daß im Zusammenhang mit Fraktalen ein wirklich akzeptables Modell die Zufälligkeit erfordert.
In dieser Gruppe von Kapiteln zeigen wir, daß verschiedene Schemata von fast lächerlicher Einfachheit zu effektiven zufälligen Fraktalen führen. In Kapitel 23 wird das Gerinnen randomisiert, ein Verfahren, das wir benutzen, um ein Cantor-Mo-dell für das Rauschen (Kapitel 8), ein räumliches Cantor-Staub-Modell für Galaxien (Kapitel 9), eines für die turbulente Intermittenz (Kapitel 10) usw. zu skizzieren. Kapitel 24 ist vor allem den Schnörkeln53 gewidmet, einer neuen randomisier-ten Form der Koch-Kurve. Kapitel 25 beschäftigt sich mit der Brownschen Bewegung, und in Kapitel 26 werden andere Fraktale über «zufällige Mittelpunktsverschiebungen» definiert.
Das vorige Kapitel zeigte, daß das Gerinnen ran-domisiert werden kann, ohne das zugrunde liegende räumliche Gitter der Basis b zu zerstören. Beim zufälligen Gerinnen bleibt das in einer Gitterzelle der Stufe k vorhandene «Material» für immer dort, wobei seine Verteilung ständig ungleichmäßiger wird. Dieser Prozeß ist sehr einfach, da die Entwicklung in einer Zelle unabhängig davon erfolgt, was in anderen Zellen passiert. Dafür muß man in Kauf nehmen, daß der Zufall und die Eigenschaften des Raums die Topologie des erzeugten Fraktals bestimmen.
Die Einordnung dieses Kapitels innerhalb des Essays ist ein Kompromiß. Eigentlich würde es in den folgenden Teil gehören, aber einiges hieraus wird schon in Kapitel 26 benötigt.
Der logische Faden dieses Kapitels beginnt in der Mitte von Kapitel 25, nach dem Abschnitt, in dem die Brownsche Bewegung durch Randomisieren einer Peano-Kurve erzeugt wird.
Der Übergang zu gebrochenen Brownschen Fraktalen markiert einen wichtigen Wendepunkt in diesem Essay. Bis jetzt haben wir an Fraktalen festgehalten, die auf Zeit- und/oder Raumgittern aufbauen - mit den entsprechenden Restriktionen an die Invarianzeigenschaften dieser Fraktale, das heißt an die zulässigen Translationen und Ähnlichkeitstransformationen, die dieses Fraktal auf sich selbst abbilden.
Dieses Kapitel führt künstliche Bilder vor, die Karten und Fotografien von Gebirgen und Inseln sehr ähnlich sind. Es wird der Nachweis erbracht, daß man Gebirge, wie etwa die Alpen, in erster Näherung sinnvoll durch geeignet gewählte fraktale Flächen modellieren kann, die einem Brownschen Zufall unterworfen sind. Schließlich werden wir auf ein vernünftiges Modell jenes natürlichen Musters stoßen, mit dem dieser Essay beginnt, das sich uns aber so lange entzogen hat: die Küstenlinien.
Hier setzen wir die Erforschung unserer Brownschen Reliefmodelle fort. Die Konsequenzen hinsichtlich des Flächeninhalts von Inseln erweisen sich als akzeptabel, diejenigen für Seen und Schüsseln dagegen nicht. Um diese Unstimmigkeit zu korrigieren, wird ein verbessertes Modell eingeführt.
Das vorliegende Kapitel gipfelt in einer Erklärung der Tafeln 22 und 23. Der Text ist in erster Linie gebrochenen Brown-Funktionen von 3 Variablen mit einem antipersistenten Exponenten H<1/2 gewidmet. Dem Fall H = 1/3 wird besonders Beachtung geschenkt, wobei H = 1/2 wieder als Ausgangspunkt dient.
Der Aufbau dieses Teils ist etwas verwickelt, denn der Zusammenhang von zufälligen Tremata und Textur klärt sich erst in Kapitel 35 auf, wenn demonstriert wird, wie die Textur gesteuert werden kann. Kapitel 34 führt Textur ohne große Bezugnahme auf Tremata ein. Es werden dort Fakten beschrieben, die man auch über verschiedene frühere Kapitel hätte verteilen können. Um eine einheitliche Darstellung zu erreichen, wurden sie aber hier zusammengefaßt.
Das Hauptinteresse dieses und des nächsten Kapitels ist auf Galaxienhaufen gerichtet, ein Thema, das schon in den Kapiteln 9, 22 und 23 berührt wurde. Die zugrunde liegenden Techniken verallgemeinern den Staub aus dem letzten Kapitel für die Ebene und den Raum. In diesem Kapitel wird vorrangig der räumliche Lévy-Staub behandelt. Bochner folgend, führen wir diese Fraktale als Brownsche Bewegung ein, die mittels «Subordination» «bearbeitet» wurde. Als spezieller Lévy-Staub tritt der Lévy-Flug auf, eine zufällige Nichtstandardirrfahrt. Wir beginnen mit einer zwanglosen Vorschau auf Klumpen bei zufälligen Irrfahrten. Dann wird die Subordination in einem nichtzufälligen Kontext erläutert und begründet. Die Behauptungen aus der Vorschau werden im letzten Abschnitt gerechtfertigt.
Nachdem der lineare Lévy-Staub über strecken-förmige zufällige Tremata als ein Tremafraktal eingeführt wurde (Kapitel 31), haben wir uns in Kapitel 32 bereitwillig ablenken lassen. Dieser Staub wurde mittels Subordination in die Ebene und den Raum übertragen. In diesem und im nächsten Kapitel werden die zufälligen Tremata direkt verallgemeinert.
Textur ist ein nebulöser Begriff, den Mathematiker und Naturwissenschaftler zu vermeiden suchen, weil sie ihn nicht recht fassen können. Für Ingenieure und Künstler ist er unvermeidbar, doch beherrschen sie ihn meist nicht zu ihrer vollen Zufriedenheit. Es gibt aber viele Hinweise darauf, daß verschiedene individuelle Seiten der Textur im Begriff sind, quantitativ gemeistert zu werden.
In Übereinstimmung mit der Methode dieses Essays wurden die Tremafraktale in den Kapiteln 31 und 33 durch einfachste Beispiele eingeführt, die auf Strecken, Kreisen und Kugeln basieren. Die Ergebnisse sind von erfreulich vielfältiger Form, aber allgemeinere Tremata führen zu einem noch größeren Reichtum. Tatsächlich zeigte ElHélou (1978)101, daß die Dimension eines Tremafraktals einzig durch die Verteilung der Tremalängen (-flächen oder -volumina) bestimmt wird. Aber die Tage, da D der einzige Zahlenparameter eines Fraktals war, sind zu Ende, seit in Kapitel 34 Sukkolarität und Lakunarität eingeführt wurden. Das vorliegende Kapitel verdeutlicht nun, wie die Form der Tremata diese Merkmale beeinflußt. Und wieder passen hier die Nachfragen aus den Fallstudien und das Angebot aus der Geometrie zusammen.
Vom Standpunkt der Fraktale unterscheiden sich die meisten Probleme der Physik nicht wesentlich von denen in anderen Gebieten. Deshalb sind auch die einzelnen Untersuchungen zur Physik über den ganzen Essay verstreut. Nur einige wurden für dieses Kapitel zurückbehalten.
Die Preisänderungen an den Effekten- und Warenbörsen werfen ein geometrisches Problem auf. Das ist nur halb im Scherz gemeint, denn die Finanzseiten der Zeitungen sind voll von Inseraten selbsternannter «Tabellisten», die die Vergangenheit geeignet darstellen und behaupten, aus der Geometrie dieser Tabellen104 die Zukunft vorhersagen zu können.
In späteren Monographien oder Lehrbüchern über Fraktale wird die mathematisch schwierige Diskussion zufälliger geometrischer Formen im Anschluß an die einfacheren Gebiete der zufälligen Funktionen behandelt werden. Diese Bücher werden mit zufälligen Variablen beginnen. Unser Essay hat sich dagegen geradewegs in das komplizierteste Gebiet gestürzt, da es das interessanteste ist und der geometrischen Intuition Spielraum läßt.
Komplizierte Formeln und mathematische Definitionen sowie Literaturhinweise, die bisher umgangen wurden, sind nun in diesem Kapitel zusammengefaßt. Außerdem findet man hier verschiedene mathematische und andere Ergänzungen.
Jemand, der in den großen wissenschaftlichen Strömungen seiner Zeit arbeitet, wird selten mit einer interessanten Lebensgeschichte belohnt (oder sollte man besser sagen bestraft?). Nehmen wir zum Beispiel JohnWilliamStrutt, den dritten Baron Rayleigh. Ein steter Fluß glänzender Erfolge läßt seinen Namen auf fast jedem naturwissenschaftlichen Gebiet auftauchen. Doch mit einer Ausnahme erscheint uns sein Leben ereignislos, seiner Entwicklung als Wissenschaftler untergeordnet. Das Unerwartete geschah, als er sich nach der Aufnahme ins Trinity College, die ihm als ältestem Sohn eines Gutsbesitzers zustand, für die Gelehrtenlaufbahn entschied.
Oft entschuldigen sich Mathematiker mit dem geflügelten Wort von Gauss: «Wenn ein Haus erst fertig ist, sieht niemand mehr eine Spur des Gerüsts», um die Motivation ihrer eigenen Arbeit und die Geschichte ihres Gebiets vernachlässigen zu können. Glücklicherweise setzt sich die entgegengesetzte Meinung immer mehr durch. Zahlreiche Nebenbemerkungen in unserem Essay zeigen, in welche Richtung meine eigenen Sympathien gehen. Zur Bildung und Unterhaltung des Lesers habe ich sogar noch einige längere Geschichten übrig. Sie enthalten allerlei kleine Dinge, die sich bei meiner gegenwärtigen Leidenschaft für Leibniz und Poincaré auf Streifzügen durch Bibliotheken angesammelt haben.
Meine Essays über Fraktale aus den Jahren 1975 und 1977 beginnen ohne Vorwort und enden ohne Schlußwort. Das gilt auch für diesen Essay, doch liegen mir noch einige Dinge am Herzen. Jetzt, da die fraktale Geometrie gewichtige Schritte in Richtung ihrer Organisierung unternimmt, ist gerade die richtige Zeit, etwas von ihrer unglaubwürdigen Entstehung zu skizzieren und ein paar Worte über ihren Beitrag zum wissenschaftlichen Verständnis, zur Beschreibung und zur Erklärung hinzuzufügen. Da die neue Geometrie an allen Fronten von der Beschreibung zur Erklärung übergeht (entweder als Ganzes, wie in den Kapiteln 11 und 20, oder auf spezielle Fälle zugeschnitten), ist es angebracht, sich einmal daran zu erinnern, warum sie lange Zeit Nutzen aus der unüblichen (und unpopulären) Mißachtung gegenüber Erklärungen durch «Modelle» gezogen hat.
Zwischen der Übergabe des Buches an den Verlag und seinem tatsüchlichen Erscheinen und dann wührend der kurzen Zeit, bis die erste Auflage vergriffen war, stand die fraktale Geometrie nicht still. Sie entwickelte sich mit wachsender Geschwindigkeit in jenen Gebieten, in denen sie schon akzeptiert wurde, und drang in eine Anzahl neuer Gebiete vor.
