Einführung in die Gitterpunktlehre

Frontmatter

1. Problemstellung

Zusammenfassung

Unter einem Gitterpunkt versteht man einen Punkt des k-dimensionalen euklidischen Raumes ℝ^k, dessen Koordinaten sämtlich ganzzahlig sind. Solche Punkte bezeichnen wir mit X, Y und Z, während wir mit O den Ursprung meinen, der natürlich ebenfalls ein Gitterpunkt ist. Im folgenden treffen wir einige Vorbereitungen, um eine ersten, berühmten Satz über Gitterpunkte formulieren und beweisen zu können.

François Fricker

Kapitel 1. Quadratsummen

Zusammenfassung

Es ist zu erwarten, dass die Abzählung der Lösungsmenge

$$L(n) = \{ (x,y)\left| {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} = n} \right.\}$$

erleichtert wird, wenn man ihre Elemente zuerst nach (x;y) klassifiziert. Deshalb führen wir die Mengen

$$ {{L}_{d}}(n) = \{ (x,y)\left| {(x,y) \in \ell (n)und(x;y) = d\} } \right. $$

ein. Ist \( (x,y)\in {{\ell }_{d}}(n)\) , also x = x′d und y = y′d mit (x′;y′)=1, so folgt aus x² + y² = n, dass d²∣n und damit \( (x',y') \in {{L}_{1}}(n/{{d}^{2}}) \) .Ist umgekehrt d²∣n und \(({x}',{y}')\in {{L}_{1}}(n/{{d}^{2}})\) , so ist \((x,y)\in {{L}_{d}}(n)\) , wenn x = x′d und y = y′d genommen wird.

François Fricker

Kapitel 2. Das Kreisproblem und andere Gitterpunktprobleme der Ebene

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen werden wir die in (1.5) enthaltene Abschätzung

$${{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}_{2}}\le \frac{1}{2}$$

(1)

zu

$${{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}_{2}}\le \frac{1}{3}$$

(2)

verbessern.

François Fricker

Kapitel 3. Das Kugelproblem und andere Gitterpunktprobleme des Raumes

Zusammenfassung

Mit Satz 8.3 wurde eine Verbesserung von Satz 1.2 für den Fall k=4 erreicht.

François Fricker

Kapitel 4. Das Ellipsoidproblem

Zusammenfassung

Im folgenden bezeichnen grosse griechische Buchstaben sowie U Punkte von ℝ ^k , wobei für die Komponenten die entsprechenden kleinen Buchstaben verwendet werden also

$$ \Gamma {\text{ = }}{{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{2}}, \ldots ,{{\gamma }_{k}}),U = ({{u}_{1}},{{u}_{2}}, \ldots ,{{u}_{k}}).$$

François Fricker

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