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Erschienen in:
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2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Geometric and Analytic Tools

verfasst von : P. Podio-Guidugli, A. Favata

Erschienen in: Elasticity for Geotechnicians

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The problems in classical elasticity we tackle have intrinsic symmetries that are best exploited with the use of ad hoc coordinate systems, because the associated vector and tensor bases allow for convenient representations of the fields of interest and their transformations under the action of differential operators. In this chapter we collect a modicum of basic material from differential geometry and analysis.

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Fußnoten
1
It follows from (3.1) and (3.2) that, for each index \(i\), vectors \(g_i\) and \(g^i\) have inverse physical dimensions:
$$\begin{aligned} \mathrm{dim }(g_i) =\big (\mathrm{dim }(g^i)\big )^{-1}. \end{aligned}$$
Thus, in particular, the identity tensor is dimensionless, as required implicitly by (3.3)\(_1\); moreover, in view of (3.4),
$$\begin{aligned} \mathrm{dim }(v_i) =\big (\mathrm{dim }(v^i)\big )^{-1}. \end{aligned}$$
 
2
On differentiating the first of (3.5), we find that
$$\begin{aligned} 2\rho \nabla \rho =2{{\varvec{x}}}\quad \Rightarrow \quad \nabla \rho =\rho ^{-1}{{\varvec{x}}},\;\mathrm{with }\;\,\rho =|{{\varvec{x}}}|; \end{aligned}$$
on differentiating the second, that
$$\begin{aligned} \frac{1}{\cos ^2\vartheta }\nabla \vartheta =\frac{({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_1){{\varvec{e}}}_2-({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2){{\varvec{e}}}_1}{({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_1)^2}\,,\;\mathrm{con }\;\,\cos \vartheta =\rho ^{-1}({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_1),\;\,\sin \vartheta =\rho ^{-1}({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2), \end{aligned}$$
whence (3.6)\(_2\).
 
3
To derive (3.7), recall that:
$$\begin{aligned} g^1:=\nabla z,\quad z={{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_1;\qquad g^2:=\nabla r,\quad r^2=({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2)^2+({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_3)^2;\qquad g^3:=\nabla \varphi ,\quad \tan \varphi =\frac{{{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_3}{{{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2}\,. \end{aligned}$$
 
4
To derive (3.12), recall that:
$$\begin{aligned} \begin{aligned}&g^1=\nabla \rho ,\quad \nabla ({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{x}}})=\nabla (\rho ^2),\quad \rho =|{{\varvec{x}}}|;\\&g^2=\nabla \vartheta ,\quad {{\varvec{e}}}_1=\nabla ({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_1)=\nabla (\rho \cos \vartheta )=(\cos \vartheta )\nabla \rho +\rho \nabla (\cos \vartheta )=\cos \vartheta \,{{\varvec{r}}}-\rho \sin \vartheta \nabla \vartheta ;\\&g^3=\nabla \varphi ,\quad \frac{\cos \varphi {{\varvec{e}}}_3-\sin \varphi {{\varvec{e}}}_2}{\rho \sin \vartheta \cos ^2\varphi }=\frac{({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2){{\varvec{e}}}_3-({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_3){{\varvec{e}}}_2}{({{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2)^2}=\nabla \big (\frac{{{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_3}{{{\varvec{x}}}\cdot {{\varvec{e}}}_2}\big )=\nabla (\tan \varphi )=\frac{1}{\cos ^2\varphi }\nabla \varphi \,. \end{aligned} \end{aligned}$$
 
Metadaten
Titel
Geometric and Analytic Tools
verfasst von
P. Podio-Guidugli
A. Favata
Copyright-Jahr
2014
Buch
Elasticity for Geotechnicians

Print ISBN: 978-3-319-01257-5

Electronic ISBN: 978-3-319-01258-2

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-01258-2_3