Schlüsseltechnologie Mathematik

Die Mathematik ist die älteste Wissenschaft¹ und damit ein hohes Kulturgut der Menschheit. Dennoch ist der allgemeine Kenntnisstand auf dem Gebiet der Mathematik so gering, wie wohl in keinem anderen Schulfach, gemessen an der Zeitspanne zwischen der Entdeckung neuer mathematischer Erkenntnisse und ihrem Eingang in das Allgemeinwissen jener Bevölkerungsschichten, die eine höhere Ausbildung haben genießen können. Breite Gesellschaftsschichten haben aus dieser Diskrepanz für sich den Schluß gezogen, mit Ihrer Unkenntnis an mathematischem Wissen zu kokettieren. Sicherlich, Mathematik ist ein schwieriges Fach und damit eine Herausforderung für jeden. Diese Zeit-Diskrepanz ist aber auch eine Herausforderung für die Mathematiker als Teil dieser Gesellschaft. Sie müssen (noch mehr) ihrer Bringschuld gegenüber der Gesellschaft nachkommen und ihr Fach der Öffentlichkeit präsentieren. Peter Gritzmann, der derzeitige Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung², meint dazu: „Wenn wir es nicht schaffen, unser Wirken, unsere Bedeutung transparent zu machen, dann wird Mathematik entweder ignoriert oder bestenfalls von der Ignoranz als ‚Zauberei‘ oder ‚Magie‘ bestaunt.‘ Und weiter: „Aber Mathematik ist auch ein Instrument der Aufklärung. Aufgeklärte Menschen lassen sich nicht so leicht manipulieren, von der Werbung, von Statistiken, von den Halbwahrheiten unserer Gesellschaft.“ Auf der anderen Seite durchzieht die Mathematik als Querschnittswissenschaft fast alle Bereiche unseres Lebens. Ohne Mathematik blieben uns auf immer viele Erkenntnisse der Naturwissenschaften verborgen. Ohne Mathematik gäbe es viele jener technischen Errungenschaften nicht, die wir heute im täglichen Leben so selbstverständlich nutzen. Ohne Mathematik gäbe es nicht die modernen Diagnosemethoden, mit denen der Arzt in das Innere unseres Körpers sehen kann. Diese Liste ließe sich endlos fortführen.

Wir versetzen uns zurück in das ausgehende 17. Jahrhundert. Die Anfänge der Differential- und Integralrechnung, die heute etwa das Ende der Mathematikausbildung an Höheren Schulen markiert, waren durch Leibniz und Newton soeben begründet worden.

Initiiert durch die Preisfrage Johann Bernoullis erblickte schon bald ein neues Teilgebiet der Analysis die Welt, die Variationsrechnung. Sie wurde nicht nur von Leonhard Euler, Schüler Johann Bernoullis und einer der größten Mathematiker aller Zeiten, dessen gesammelte Schriften schon allein ob ihres Umfanges Respekt einflößen,¹ so benannt, sondern schon bald zu einer ersten Blüte geführt. In der Mitte des 20. Jahrhunderts erzwangen dann neue Fragestellungen eine Erweiterung der Variationsrechnung zur Theorie der Optimalen Steuerungen. Doch ohne die Numerische Mathematik, mit deren Hilfe es gelang, zu konkreten Problemen der Praxis auch konkrete Lösungen auf Computern zu berechnen, wäre alles nur Stückwerk geblieben. Wir wollen in diesem Kapitel einen Parforceritt durch drei Jahrhunderte Mathematik wagen.

Die Luft- und Raumfahrt war und ist noch immer einer der stärksten Triebfedern für die Weiterentwicklung der Theorie der Optimalsteuerungen und ihrer Numerik. Heute setzt die Wissenschaft große Hoffnungen in die Internationale Raumstation ISS¹; siehe Farbabbildung F.1 im Anhang. Seit November 1998 bauen fünfzehn Länder der Erde gemeinsam an dieser Raumstation, die alles in den Schatten stellt, was Menschenhände je im All platzierten. Dreimal so groß wie die legendäre MIR, Hightech-Arbeitsplatz für internationale Astronautenteams und vielleicht ein „Sprungbrett“ für den ersten bemannten Flug zum Mars: Mit der ISS beginnt die Raumfahrt des neuen Jahrtausends.

Auch wenn bereits in den Anfangszeiten der Entwicklung der Theorie und der Numerik Optimaler Steuerungen Probleme aus der Ökonomie, wenig später dann auch aus der Verfahrenstechnik, in Form von Optimalsteuerungsproblemen formuliert wurden, sind die Resultate der Mathematik noch nicht in dem gewünschten Umfange in die Praxis umgesetzt worden, wie dies bei Problemstellungen aus der Luft- und Raumfahrt bereits der Fall ist. Relativ neue Anwendungsbereiche sind dagegen die Robotik und die Fahrzeugtechnik. Die Schwierigkeiten bei allen diesen Anwendungsgebieten liegen zum einen in der Modellierung, da vielfach das Verständnis der Vorgänge nicht ausreicht, um ein hinreichend genaues mathematisches Modell zu erstellen, zum anderen aber auch in der Numerik, da die Größe der Probleme und neue Aufgabenstellungen theoretisch und rechnerisch erst bewältigt werden mussten. Doch die Arbeit an der Lösung dieser Herausforderungen, deren Umsetzung in der Zukunft liegen wird, hat nicht erst heute begonnen.

In diesem Kapitel wollen wir uns intensiver mit Fragen der praktischen Realisierung der berechneten Lösungen von Optimalsteuerungsproblemen beschäftigen. Dazu muss man die berechnete Information in geeigneter Weise in den realen Prozess eingeben. Dies geschieht zumeist durch Vorgabe der Verläufe (einiger Komponenten) der optimalen Zustandsfunktionen als Sollbahn, die mithilfe geeigneter Steuerungen — das müssen nicht notwendigerweise die optimalen Steuerungen des mathematischen Modells sein — nachgefahren werden muss. Alternativ kann man auch den Verlauf der optimalen Steuerungen selbst als Sollbahn vorgeben, falls die Steuerungen des Modells auch diejenigen des realen Prozesses sind. Die Einhaltung der Sollbahn erfolgt dann i. Allg. durch sogenannte Regelungsalgorithmen, die ständig Ist- und Sollbahn vergleichen. Auf Basis der gemessenen Differenzen werden Steuerkorrekturen berechnet und diese wieder in den Prozess zurückgeführt. Es entsteht eine sogenannte geschlossene Regelschleife. Methoden der Regelung entstammen einem Gebiet, das sowohl in der Mathematik unter dem Namen Regelungsoder Kontrolltheorie als auch in den Ingenieurwissenschaften unter dem Namen System- und Regelungstechnik beheimatet ist. Durch Regelung wird der Prozess bei Abweichungen vom Sollverlauf aufgrund von Störungen oder von Differenzen zwischen Modell und Wirklichkeit wieder auf die Sollbahn zurückgesteuert. Fragen der Optimalität spielen dabei keine Rolle mehr, ja die durch die Optimierung gewonnenen Vorteile können im schlimmsten Falle sogar verloren gehen. Durch die Rückführung der Steuerkorrektur wird jedoch erreicht, dass die Zulässigkeit des Prozessverlaufs, d. h. die Einhaltung der vorgeschriebenen Beschränkungen, gewährleistet bleibt oder zumindest nur unwesentlich verletzt wird.

Die Mathematik hat sich in den letzten Jahrzehnten als unverzichtbares, mächtiges und ständig an Einfluss gewinnendes Hilfsmittel erwiesen, mit dem interessante und wichtige Problemstellungen aus den verschiedensten Gebieten gelöst werden können.