Attraktoreingrenzung für nichtlineare Systeme

In der letzten Zeit gewinnen endlichdimensienale dynamische Systeme in den Naturwissenschaften und innerhalb der Mathematik wieder an Bedeutung. Eine der Ursachen hierfür ist, daß alle prinzipiellen Verhaltensweisen der Lösungen, die früher in ihrer Gesamtheit nur bei partiellen Differentialgleichungen vermutet wurden, nun auch bei ausgewählten Systemen niedriger Dimension von gewöhnlichen Differentialgleichungen nachgewiesen werden.

Betrachtet wird das Lorenz-System [45,81] wobei o₁, r₁ und b₁feste positive Zahlen sind und r₁>1 ist.

Für die Untersuchung der Ausbreitung von Wellen mit Dispersion in instabilen Systemen wird in [11] ein Zugang von Stuart [79] angewandt, der auf der Starungsrechnung und der Methode der unterschiedlichen Skalierung beruht.

Neben dem Lorenz-System (1.1) werden in der Literatur auch andere autonome Systeme aus drei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung diskutiert, die wegen der Existenz eines seltsamen Attraktors besonderes Interesse hervorrufen. Zu ihnen zählen die von Rössler in [41, 42] angegebenen abstrakten Reaktionssysteme, die zur Erklärung von Oszillationserscheinungen in chemischen Experimenten benutzt werden ([30]).

Gegeben sei das quasilineare Differentialgleichungssystem Dabei ist A eine n × n-Matrix und f ist eine stetige Abbildung f: ℝⁿ × ℝ₊ → ℝⁿ, die außerdem einer lokalen Lipschitz-Bedingung bezüglich x genügt. Weiter wird vorausgesetzt, daß für beliebige t_o ≧ 0, x_o ∈ ℝⁿ die Lösung x(•;t_o,x_o) für alle t t ≧ t_o existiert. Um Mißverständnissen vorzubeugen, definieren wir an dieser Stelle die Begriffe des Kegels und der invarianten Menge im ℝⁿ.

Ausgangspunkt für die Untersuchungen in den Abschnitten 6 und 9 des Buches sind nichtlineare Phasenkouulunassysteme, die vielfaltige Anwendungen in der Technik und in den Naturwissenschaften finden (Zeilensynchronisation in Fernsehgeräten, Steuerung elektrischer Synchronmaschinen und zyklischer Beschleuniger in der Kernphysik usw. [5, 26, 54, 127]). Nach SchachgildjanLjachovkin [127^'] ist Synchronisation eine „Widerspieglung der allgemeinen Tendenz materieller Objekte zur Selbstorganisation“. Das Grundprinzip der Phasenkopplung besteht darin, daß zwei periodische oder fastperiodische Prozesse ständig oder in gewissen Zeitabständen verglichen werden und durch ein System der automatischen Steuerung ein synchrones Verhalten zwischen ihnen hergestellt wird. Im Idealfall bedeutet dies bei harmonischen Schwingungen die Gleichheit der Frequenz und eine konstante Phasenverschiebung.

Im vorliegenden Abschnitt wird mit der Methode der invarianten Kegel das Stabilitätsverhalten im Sinne von Yu.A. Bakaev [60] von diskret wirkenden nichtautonomen Phasensystemen untersucht. Zu den betrachteten Phasensystemen gehören Systeme der automatischen Steuerung mit unstetigen Nichtlinearitäten, die periodisch sind. Mit Hilfe des in diesem Abschnitt bewiesenen Frequenzkriteriums zur asymptotischen Eingrenzung der Phasendifferenz werden Fangregime eines einfachen Impuls- und eines Ziffernsystems der Phasensynchronisation analysiert. Die Vorgehensweise erlaubt von einem einheitlichen Standpunkt aus die explizite Angabe der Attrakteren von Abbildungen der Kreisperipherie in sich, von unstetigen Poincare’-Abbildungen wie sie beim Lorenz-System (1.1) auftreten, von Punkt-Mengen-Abbildungen und von anderen Abbildungsklassen. Die Darstellung im Abschnitt 7 folgt der Arbeit [21].

In gewissen Situationen, so beim Nachweis der Beschränktheit der Lösungen, der Existenz von Kreislösungen und anderen Eigenschaften der Lösungen ist die Methode von V.N. Belych und Y.I. Nekorkin [63, 68 – 70] von Interesse, durch die die Untersuchung auf Systeme niedrigerer Dimension als die des Ausgangssystems reduziert wird. Im Abschnitt 8 wird diese Dekompositionstechnik in bestimmter Weise weiter entwickelt und verallgemeinert. Es werden kontinuierlich und diskret wirkende Systeme der Phasensynchronisation mit einer Nichtlinearitit betrachtet und Kriterien der Beschränktheit der Lösungen dieser Systeme bewiesen. Der Nachweis der Beschränktheit der Lösungen in Systemen der Phasensynchronisation ist yen großem praktischen Interesse, da als Arbeitsregime nur solche gelten können, in denen die Phasendifferenz zwischen Eichgenerator und abzustimmendem Generator eine beschränkte Funktion der Zeit ist. Oft stellen allerdings die Kriterien fir die Beschränktheit aller Lösungen zu starke Forderungen an den Parameterbereich der entsprechenden Systeme. Es ist deshalb von Interesse, neben Kriterien, die eine Beschränktheit der Lösungen garantieren, auch hinreichende Bedingungen fir die Existenz von Kreislösungen zu haben. Letztere fiteren in Systemen der Phasensynchronisation zu unerwünschten Effekten [127^’].

In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für die Stabilisierbarkeit von autonomen nichtlinearen Systemen durch eine harmonische äußere Erregung angegeben. Die Problematik des Auffangens der Frequenz von Eigenschwingungen durch sine äußere harmonische Erregung in der nichtlinearen Schwingungstheorie und in der Steuerungstheorie von Autogeneratoren ist klassisch zu nennen [3, 4, 6, 26, 29, 53, 57, 115, 119, 126]. Eine der wichtigen Eigenschaften von erzwungenen periodischen Prozessen ist die Stabilität im ganzen. In diesem Falle wird die Erscheinung des Auffangeng in jedem Arbeitsregime des Autogenerators beobachtet. Andererseits zeigen experimentelle Ergebnisse der letzten Zeit, daß auch nichtlineare Systeme mit chaotischem Lösungsverhalten durch eine äußere Erregung stabilisiert werten köanen [80, 91, 92].

Im vorliegenden Abschnitt werden für eine Klasse von Systemen mit einer skalaren Nichtlinearitat weitere Kriterien für die Stabilisierung durch eine äuβere periodische Erregung bewiesen. Dabei ist das erste Kriterium eine Verallgemeinerung des im Abschnitt 9 bewiesenen Frequenzkriteriums.

In den folgenden vier Abschnitten wird erneut das Lorenz-System (1.1) untersucht. Wir beschreiben deshalb dieses System noch einmal an dieser Stelle.

Für das Lorenz-System (11.2) wird wieder eine invariante Menge konstruiert, die vollkommen die Separatrizen enthält, die vom Sattelpunkt im Koordinatenursprung ausgehen. Dabei stützt sich die folgende Darstellung auf die Arbeiten [18, 103], wobei auβerdem Ideen aus [24, 62, 64, 68, 101] verwendet werden. Bezüglich des Systems (11.2) setzen wir zusätzlich B ≧ 0 voraus.

Wir beschäftigen uns weiter mit der Konstruktion einer positiv invarianten Menge für das Lorenz-System (11.2), die den Lorenz-Attraktor enthält. Auch bei dén folgenden Darlegungen, die auf die Arbeit [104^IV] zurückgehen, werden Ergebnisse aus [24, 62, 64, 68,101] verwendet. Untersucht wird das Lorenz-System (11.2) bei den zusätzlichen Einschränkungen B ≧ 0 und μ > A.

In diesem Abschnitt geben wir einige Abschätzungen für Parameter des Lorenz-Systems an, bei denen eine Separatrixschlinge existiert. Neben den bezüglich System (11.2) in Abschnitt 11 bereits getroffenen Voraussetzungen nehmen wir B > 0 an.

In diesem letzten Abschnitt werden einige Möglichkeiten der direkten Methode von Ljapunow für den Nachweis der Existenz seltsamer Attraktoren von mehrdimensionalen dynamischen Systemen diskutiert. Wir stützen uns dabei im wesentlichen auf die Ergebnisse aus [102, 104^II].