Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II

Wir stellen zunächst wichtige mathematikdidaktische Strömungen und historische Entwicklungen vergleichend dar (Abschnitte 1.1.1/2). Danach werden Elemente der didaktischen Curriculumdiskussion erörtert (Abschnitt 1.1.3). Diese historisch-hermeneutische Vorarbeit dient dazu, in wichtige fachdidaktische Fragestellungen einzuführen, und zugleich, Verkürzungen und Einseitigkeiten zu vermeiden, von denen fachdidaktische Arbeit nicht selten geprägt war und ist. Ergänzt wird diese Vorarbeit durch die Beschreibung der Situation des MU in der Oberstufe (Abschnitt 1.1.4). Vor diesem Hintergrund wird eine theoretische Basis entworfen, von der aus Ziele, Inhalte und Methoden für den MU in der S II formuliert und begründet werden können. Folgende Gesichtspunkte werden von uns besonders beachtet:

Durch den „Schwerpunkt Lernprozesse im MU der Oberstufe“ ist diese Wahl dennoch vergleichsweise einfach. Wir können uns im wesentlichen auf die folgenden drei Lerntypen beschränken:

In diesem Kapitel geht es um den zweitgenannten Aspekt, um das Prozeßhafte der Mathematik, um das „Mathematik-Machen“. Die Spannweite dessen, was Lehrer unter „problemorientiertem Unterricht“ verstehen, ist groß. Die Vorstellungen reichen von einer eng geführten und lehrerzentrierten Unterrichtsstunde zum Problem „Anstieg der Parabeltangente“ bis hin zu einem mehrwöchigen Unterrichtsprojekt, in dem sich Schüler in vielfältiger Weise mit der Geometrie gotischer Kirchenfenster auseinandersetzen (vgl. Artmann 1991, Schmidt o.J.). Die didaktische Funktion, die das Problem im Ablauf der Unterrichtssequenz haben soll, die Ziele, die man mit ihm verfolgt, die Medien, die man benutzt, die Vorstellung davon, was unter einer Lösung des Problems zu verstehen ist, das geplante Unterrichtsververfahren, all das kann sehr verschieden sein. Ein Lehrer versucht zusammen mit seinen Schülern, Besonderheiten interessanter Kurvenscharen mit Hilfe des Computeralgebrasystems Derive zu entdecken und mathematisch in den Griff zu bekommen. Ein anderer liest mit seinen Schülern Aufsätze zum Problem weltweiten Wachstums und dessen Umweltfolgen und entwickelt mit ihnen geeignete mathematische Wachstumsmodelle für Zukunftsprognosen. Ein Dritter möchte lediglich bei einer üblichen Aufgabe aus dem Schulbuch den Schülern das Erlebnis „Das haben wir selbst herausgefunden“ ermöglichen. Wir benutzen den Begriff „problemorientierter Mathematikunterricht“ zunächst als deskriptive Kategorie, um diese unterschiedlichen Phänomene angemessen beschreiben zu können. Dann erörtern wir den Begriff unter der Frage nach den Zielen als normative Kategorie.

Für den MU ist es notwendig, den Begriff des Beweisens weiter zu fassen als in der Fachwissenschaft üblich und ihn an die allgemeineren Begriffe des Begründens und des rationalen Argumen-tierens anzubinden. Dabei spielen sowohl Fragen einer pädagogischen Legitimation als auch lernpsychologische Überlegungen eine Rolle. Subjektive Aspekte beim Beweisen werden in der Fachmathematik vollständig ausgeklammert, in der Schule sind sie von zentraler Bedeutung.

Nach einer kurzen Schilderung der historischen Entwicklungslinien (Abschnitt 6.1) sollen der Analysis isoliert und begründet werden. Ein Kanon universeller Ideen, wie er etwa Jung (1978), Schreiber (1979, 1983) und Heymann (1993, 1996a) vorschwebt, ist in 1.3 ausführlich beschrieben worden. Dieser scheint uns für einen Bereich der Mathematik zu weit gefaßt und das hier näher zu untersuchende Bereichsspezifische von Ideen nicht genügend zu treffen. Die universeilen Ideen Algorithmus, Exhaustion, Approximation, Modellbildung, Invarianz, Optimalität, Funktion, Messen, Zahl, Charakterisierung (Kennzeichnung von Objekten durch Eigenschaften; Klassifikation von Objekten und Strukturen) sind auch für die Analysis wichtig.

Es werden hier in erster Linie unterschiedliche Vorstellungen zum Analysisunterricht dargestellt. In Abschnitt 7.1 geben wir einen Überblick über die historische Entwicklung des Analysisunter-richts sowie über die gegenwärtige didaktische Diskussion. In diese Diskussion ist eine kurze, vergleichende Analyse von Schulbüchern eingebunden. In Abschnitt 7.2 betrachten wir den Analysisunterricht aus der Sicht des Lehrers. In Abschnitt 7.3 skizzieren wir das „Stoffbild“ der Analysis aus der Sicht des Schülers. Diese Skizze ist Ausgangspunkt für eine Analyse von Schwierigkeiten, die Schüler mit der Analysis haben. Vor dem Hintergrund dieser unterschiedlichen Analysen entwickeln wir in 7.4 Perspektiven für zukünftige Entwicklungen.

In diesem Kapitel widmen wir uns didaktischen Einzelfragen. Wir knüpfen dabei an die stärker fachwissenschaftlich orientierten Überlegungen in Kapitel 6 und die allgemeindidaktische Diskussion in Kapitel 7 an. Darüber hinaus greifen wir auf eine umfangreiche didaktische Literatur zurück. Dabei betrachten wir die stoffdidaktischen Arbeiten aus den Jahren vor 1980 als so zur Diskussionsbasis gehörig, daß wir nicht jeden Vorschlag dieser Periode mit eigener Quellenangabe versehen. Eine Ausnahme machen wir bei den Arbeiten, die besonders prägend gewesen sind. Für einen ausführlichen Überblick über ältere stoffdidaktische Arbeiten sei auf Tietze/Klika/Wolpers (1982) und auf Blum/Törner (1983) verwiesen. Auf ausführliche Beweise bzw. Beweisdetails wird immer dann verzichtet, wenn sie für die didaktische Diskussion nicht unmittelbar von Bedeutung sind. Wir verweisen auf Schulbücher, DIFF (1978–1981) und Knoche/Wippermann (1986) sowie auf einschlägige Lexika und Handbücher (Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Schülerduden: Die Mathematik I/II, Mathematik-Ratgeber, dtv Atlas zur Mathematik, Vieweg Mathematik Lexikon) und (elementare) fachwissenschaftliche Bücher. Aus Gründen der Praxisnähe schien es uns wichtig, an möglichst vielen Stellen die Schulbuchliteratur in die Diskussion mit einzubeziehen. Wir haben uns bemüht, die didaktische Erörterung von Inhalten und zugehörigen Methoden an die allgemeine Zieldiskussion aus Kapitel 1 anzubinden. Wir gehen davon aus, daß nicht nur Einführungs- und Grundkurse, sondern auch Leistungskurse in erster Linie allgemeinbildenden Charakter haben sollten. In allen Abschnitten werden die Möglichkeiten und Grenzen des Rechnereinsatzes im Analysisunterricht diskutiert. Ferner erörtern wir Exaktifizierungen und Vertiefungen.

Warum dieses gemeinsame Kapitel zur Problem- und Anwendungsorientierung? Zum einen bestimmten, wie bei kaum einer anderen mathematischen Teildisziplin, in der Analysis Anwendungsbezüge ihre Genese. Zum anderen sehen wir Problemorientierung und Anwendungsorientierung als sinnvolle wechselseitige Ergänzung. Der in Kapitel 3 bzw. 4 dargestellte Ansatz zur Problem- und Anwendungsorientierung von MU macht darüber hinaus deutlich, daß wir hierin nicht eine Vielzahl neuer Inhalte, sondern weitgehend eine Bereicherung und neue Sichtweise bereits vorhandener Inhalte des MU sehen. In diesem Kapitel geht es um die Darstellung von wichtigen Einzelthemen des Analysisunterrichts, bei denen uns eine solche problem- und anwendungs-orientierte Sichtweise von MU möglich erscheint. Die Palette der Beispiele reicht von größeren Unterrichtseinheiten, über kleinere Projekte bis hin zu Einzelthemen, die bei entsprechendem Zuschnitt eher beiläufig in den Unterricht integriert werden können. Letztlich ist es die konsequente Berücksichtigung dieser kleineren Beispielen, die für einen problem- und anwendungs-orientierten MU wesentlich sind.