Mechanik der Flächentragwerke

In diesem Kapitel werden einige mathematische Grundlagen dargestellt, die die Basis jeder Theorie der Flächentragwerke bilden. Zunächst erfolgt eine kurze Einführung in die Tensoralgebra zweidimensionaler Räume, dabei wird die Möglichkeit zur Verallgemeinerung auf dreidimensionale Räume aufgezeigt. Eine erste Anwendung erlangen diese allgemeinen Grundlagen bei der differentialgeometrischen Untersuchung von Flächen. Dabei werden ausführlich Metrik und Kriimmungseigenschaften von Flächen studiert, einige wichtige Sätze der Flächentheorie angegeben und eine Tensoranalysis auf allgemeinen Flächen eingeführt. Das Kapitel schließt mit verschiedenen für die Theorie der Flächentragwerke wichtigen Einzelfragen.

Im Hinblick auf ihre vielfältige Bedeutung in der Theorie der Flächentragwerke erfolgt im vorliegenden Kapitel eine Einführung in die Variationsrechnung. Dabei werden zunächst deren Grundbegriffe erläutert und die Rechenregeln für das Variationssymbol δ angegeben. Sodann wird die Herleitung der Eulerschen Gleichungen sowie der natürlichen Randbedingungen an einigen für Flächentragwerke typischen Variationsproblemen vorgeführt. Abschließend wird die Behandlung von Variationsproblemen mit Nebenbedingungen sowie der für die Stabilitätstheorie wichtige Begriff der zweiten Variation erläutert.

Nach der Beschreibung des Schalenraumes und einer Einführung in die für Flächentragwerke gebräuchlichen Modelltheorien werden zunächst die mechanischen Variablen definiert. In der behandelten sogenannten technischen Flächentragwerkstheorie werden dabei Formänderungen der Schalendicke als unbedeutend für das Tragverhalten angesehen, Schrägstellungen der Schalennormale jedoch berücksichtigt. Sodann erfolgt die Herleitung der Feldgleichungen und Randbedingungen sowie der konstitutiven Beziehungen. Abschließend werden die Grundgleichungen zu einer konsistenten Theorie zusammengefaßt.

In den Abschnitten 4.1 werden, aufbauend auf den Beziehungen des letzten Kapitels, die Grundgleichungen einer Flächentragwerkstheorie mit Normalenhypothese hergeleitet. Unabhängig von ihrer praktischen Bedeutung sind Flächentragwerkstheorien gegenüber dreidimensionalen Beschreibungen als mit Fehlern behaftet anzusehen; für diese werden in den Abschnitten 4.2 Schranken angegeben. Gleichzeitig wird die Frage nach der Leistungsfähigkeit flächenhafter und höherer Approximationen angeschnitten.

Durch die Membrantheorie wird ein für Schalentragwerke typisches, besonders wirtschaftliches Tragverhalten beschrieben, bei dem nur Membrankräfte auftreten. Dieses Kapitel stellt hierfür die grundlegenden Beziehungen zunächst in allgemeinen krummlinigen Koordinaten zusammen und erläutert deren Anwendung an Kreiszylinder- und Kugelschalen. Unter Verwendung ebener Koordinaten und einerSchnittgrößenfunktion wird sodann das Membrangleichgewicht auf eine einzige Differentialgleichung zweiter Ordnung zurückgeführt, die für verschiedene Schalenformen integriert wird. Am Beispiel allgemeiner Rotationsschalen werden abschließend die grundlegenden Eigenschaften des Differentialgleichungssystems der Membrantheorie sowie die sachgerechten Stützungsmöglichkeiten von Schalen negativer Gaußscher Krümmung diskutiert und Anwendungen des Charakteristikenverfahrens erläutert.

Dieses Kapitel behandelt die Theorie flacher Schalen sowie die Biegetheorie kreiszylindrischer und allgemeiner Rotationsschalen. Dabei liegt der Schwerpunkt auf einer Einbettung dieser klassischen Themen in das allgemeine Konzept einer tensoriellen Schalentheorie. Außerdem werden die klassischen Lösungsverfahren behandelt sowie beispielhafte Einblicke in das Tragverhalten von Schalenkonstruktionen gegeben.

Den Kern dieses Kapitels bilden die verschiedenen Energieprinzipe der linearen Schalentheorie in Tensor- und Operatorenschreibweise. Auf ihrer Basis erfolgt sodann ein Überblick über den dualen Variablenraum fürgekrümmte sowie ebene Flächentragwerke. Als Abschluß finden sich Einführungen in die Methode der finiten Elemente und der finiten Differenzen, angewendet auf allgemeine Flächentragwerke.

In diesem Kapitel wird zunächst eine Flächentragwerkstheorie aus den Hauptsätzen der Thermodynamik hergeleitet, die den Rahmen für sämtliche, also auch nichtisotherme und nichtisentrope flächenhafte Verformungsprozesse darstellt. Beispielhaft erschließt sodann ein Abriß der Theorie elastoplastischerFlächentragwerke das Gebiet derinelastizität. Den Schwerpunkt dieses Kapitels bilden hyperelastische Flächentragwerke, die großen Verschiebungen sowie mittleren Rotationen unterliegen. Diese nichtlinearen Theorien werden abschließend zu den inkrementellen Grundgleichungen der Stabilitätsprobleme linearisiert.