Nichtlineare Phänomene und Selbstorganisation

Die Naturwissenschaft Physik, die den Kausalzusammenhang zwischen Ursache und Wirkung mathematisch beschreibt, hat mit linearen und nichtlinearen Gesetzmäßigkeiten zu tun.

Die wissenschaftliche Untersuchung vieler Problemstellungen, nicht nur in Physik, Biologie und Chemie, ist häufig verbunden mit einer Analyse der Entwicklung von Prozessen in Raum und Zeit. Raum-zeitlich unmittelbar benachbarte Ereignisse sind dabei häufig kausal verknüpft, so daß viele Grundgleichungen und spezielle daraus resultierende funktionale Abhängigkeiten der Physik, Biologie und Chemie in Form von Differentialgleichungen aufgeschrieben werden können.

Üblicherweise werden Vorgänge in der Natur durch kontinuierliche Variable (z.B. Ort q, Impuls p) beschrieben, die sich als Funktion der Zeit t stetig ändern.

Definition: Nichtlineares dynamisches System

Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik finden in einem abgeschlossenen System solange Zustandsänderungen statt, bis die Entropie ein Maximum erreicht hat.

Bewegungen von Himmelskörpern in ihrer Gleichmäßigkeit und Periodizität galten schon immer als Prototyp einer regulären Bewegungsform, wobei als Maß für die Regularität die Bewegung auf Kreisbahnen betrachtet wurde. Dieses Maß der Regularität wurde auch angewendet zur Beschreibung der Bewegung der Wandersterne (Planeten), deren Bewegung nicht unmittelbar durch Kreisbahnen beschreibbar war, als Überlagerung mehrerer gleichförmiger Kreisbewegungen (Ptolemäus). Von physikalischer Seite fanden diese Ideen ihre Stützung und Widerspiegelung durch das Konzept der natürlichen und erzwungenen Bewegungen (Aristoteles) zur Beschreibung mechanischer Prozesse.

Das Maß für die Richtung der Evolution kann verschieden gefaßt werden, es wird in der Regel verbunden mit Begriffen wie Komplexität, Strukturiertheit, Organisationsgrad oder auch der Zahl von Grundbausteinen (Atome, Moleküle), die für das Funktionieren des entsprechenden Systems charakteristisch sind.

Deterministische Beschreibung der Natur, z.B. durch Orte und Impulse {x _i (t), p _i (t)}

Zeit ist Parameter zur Beschreibung dynamischer Vorgänge (metrische Zeit)

Einige Definitionen und allgemeine Kriterien komplexer Systeme:

Die Physik steckt den allgemeinen Rahmen für Evolutionsprozesse ab, indem sie Möglichkeiten und Verbote formuliert, z.B. ein universelles Verbot der Entropievernichtung (2. Hauptsatz der Thermodynamik). Nichtphysikalische Aspekte können aber nicht als unwesentlicher Teil vernachlässigt werden.

Aus unserer heutigen Kenntnis betrachten wir das Universum nicht als ein statisches, sondern als ein sich entwickelndes System. Es laufen Prozesse ab, die den Zustand dieses Systems ändern: Abstrahlung von Energie (Strahlung) von Sternen, Kollaps von Sternen (Supernovae), Materieströme und Aggregation.

Evolutionsgedanken in der Biologie stimulierten wesentlich die Aufnahme dieses Konzeptes in das Bild der Wissenschaften generell. Entsprechend werden im Rahmen dieses Materials natürlich auch einige spezielle Fragen der Evolution biologischer Systeme diskutiert. Die dabei verwendeten Methoden der Beschreibung entstammen z.T. der chemischen Kinetik, so daß häufig ähnliche Differentialgleichungen und entsprechend ähnliche Phänomene zu verzeichnen sind und folglich auch im Zusammenhang diskutiert werden sollen. Die Analyse von chemischen und biologischen Prozessen wurde in der Entwicklungsphase der Theorie der Selbstorganisations- und Evolutionsprozesse auch lange Zeit unabhängig von der speziellen Anwendung in Chemie und Biologie durchgeführt, um nichtlineare Modellgleichungen diskutieren und Phänomene studieren zu können, die in der Physik zumindest bis zu dem Zeitpunkt nicht im Mittelpunkt des Interesses standen. Diese Modellbeispiele dienten im Stadium der Entwicklung der Theorie einerseits der Bestätigung ihrer grundlegenden Konzeptionen und andererseits der Suche nach prinzipiell neuen Effekten und Phänomenen, deren mögliche Existenz dann später auch für physikalische Systeme untersucht wurde.

Die klassische Thermodynamik basiert auf den Hauptsätzen, siehe dazu die Ausführungen im 7. Abschnitt (Kapitel 7.2). Zur Wiederholung und Ergänzung werden der 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik hier in anderer Formulierung nochmals kurz diskutiert.

In den Naturwissenschaften ist die übliche mathematische Beschreibung die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (dynamisches System, vgl. Kap. 4) für die zeitliche Entwicklung der Größe x(t) bzw. mit partiellen Differentialgleichungen für die räumlich-zeitliche Entwicklung der Größe x(r,t).