Statistik

Die Statistik ist eine noch junge Wissenschaft, die alle Lebensbereiche durchdringt. Jeder von uns ist heute im Alltag mit einer Fülle von Daten und Visualisierungen von Daten konfrontiert, die uns über verschiedene Kanäle erreichen. Wenn wir morgens das Radio einschalten oder die Zeitung aufschlagen, erfahren wir etwas über die Entwicklung von Aktienkursen, über Trends auf dem Arbeitsmarkt oder über Ergebnisse der von der OECD getragenen Pisa-Studie, die auf eine vergleichende Bewertung nationaler Bildungssysteme abzielt. Abends können wir im Fernsehen die Ziehung der Lottozahlen verfolgen oder uns über den Stand des aktuellen ZDF-Politbarometers informieren. Im Internet kann man gezielt nach Daten aller Art suchen, etwa nach statistischen Informationen zur Entwicklung der Erwerbstätigkeit in Deutschland oder zu Migrationsströmen in Europa. Die Online-Präsentation von Daten wird immer benutzerfreundlicher. Dies gilt insbesondere für Daten der amtlichen Statistik – man studiere etwa die attraktiven interaktiven Anwendungen, die das Statistische Bundesamt bereitstellt oder den noch wenig bekannten Public Data Explorer von Google.

Wie jede Wissenschaft hat auch die Statistik ihre eigene Terminologie. Klare Begriffsbildungen sind notwendig, um den Rahmen, das Ziel und die Ergebnisse einer statistischen Untersuchung unmissverständlich zu beschreiben. Ausgangspunkt einer Untersuchung ist ein aus der Praxis oder der Forschung kommendes Problem. Die Problemlösung bedingt eine Konkretisierung des geplanten Untersuchungsablaufs. Erst nach sorgfältiger Planung kann die Erhebung, Aufbereitung und Auswertung von Daten erfolgen. In der Planungsphase gilt es z. B. festzulegen, welche Objekte Gegenstand einer Untersuchung sein sollen und welche Eigenschaften der Objekte von Interesse sind.

Für die empirische Überprüfung von Forschungsfragen werden Daten benötigt, d. h. beobachtete Werte eines Merkmals oder mehrerer Merkmale in einer Grund- oder Teilgesamtheit von Merkmalsträgern. Die Qualität der Aussagen, die sich aus der Analyse statistischer Daten ableiten lassen, hängt wesentlich von der Datenqualität ab. Die Vorgehensweise bei der Datengewinnung ist daher bei einer statistischen Untersuchung sorgfältig zu planen. Die Gewinnung von Daten bezeichnet man auch als Datenerhebung, während die Planung der Datengewinnung Erhebungsdesign genannt wird.

Bei statistischen Erhebungen werden Ausprägungen von Merkmalen erfasst und ausgewertet. Da in der Regel die Ausprägungen vieler Einzelmerkmale erhoben werden, fällt i. a. eine kaum überschaubare Fülle von Datensätzen an, die es zu charakterisieren und zu visualisieren gilt. Um auch bei großen Datenmengen eine Übersicht zu gewinnen, wird die in den Daten steckende Information unter Verwendung statistischer Kenngrößen (Lage- und Streuungsparameter) und einfacher grafischer Instrumente verdichtet. Je nachdem, ob man Daten für ein Merkmal oder für mehrere Merkmale auswertet, spricht man von univariater oder multivariater Datenanalyse. Bei letzterer steht die Analyse von Zusammenhängen zwischen Merkmalen im Vordergrund. Im Folgenden geht es erst einmal nur um die univariate Datenanalyse.

Häufigkeitsverteilungen für ungruppierte oder gruppierte Daten vermitteln einen Eindruck von der Gestalt der Verteilung eines Datensatzes. Die Histogramme in Abbildung 4.5 zur Verteilung von Bruttoverdiensten in zwei südeuropäischen Staaten zeigen z. B., dass die Verteilung der Daten in beiden Fällen eine deutliche Asymmetrie aufweist, also eine gewisse „Schiefe“ der Verteilung zu beobachten ist. Ferner sieht man bei beiden Teilgrafiken, dass das „Zentrum“ (oder der „Schwerpunkt“) der Einkommensverteilung für Portugal im Bereich kleinerer Werte liegt und auch die „Streuung“ hier geringer ist. Die Begriffe „Zentrum“, „Schwerpunkt“, „Streuung“ oder „Schiefe“ einer Verteilung sind zunächst unscharf und bedürfen der Präzisierung. Lage- und Streuungsparameter die-nen dem Zweck, solche Befunde zu präzisieren und zu objektivieren. Es geht darum, die in einem Datensatz steckende Information zu wenigen Kenngrößen zu verdichten. Eine solche Informationsverdichtung ermöglicht eine unmissverständliche Beschreibung von Charakteristika eines Datensatzes, ist aber grundsätzlich mit Informationsverlust verbunden. So können zwei sehr unterschiedliche Datensätze einen ähnlichen Schwerpunkt oder eine vergleichbare Streuung aufweisen. Kenngrößen zur Beschreibung empirischer Verteilungen sind aber dennoch überaus wichtig. Sie liefern für einen gegebenen Datensatz nämlich wertvolle zusätzliche Informationen, die sich visuell aus der grafischen Darstellung einer empirischen Verteilung nicht immer ohne weiteres erschließen.

Bei metrisch skalierten Merkmalen mit nicht-negativen Ausprägungen – z. B. Umsätze oder Marktanteile von Firmen – interessiert man sich häufig dafür, wie sich die Summe aller Merkmalswerte innerhalb einer Grundgesamtheit verteilt. Konzentration bezüglich des jeweiligen Merkmals liegt vor, wenn sich die Merkmalssumme ungleichmäßig auf die betrachteten statistischen Einheiten verteilt.

In den Kapiteln 4-5 wurde dargestellt, wie man empirische Verteilungen für ein Merkmal anhand von Häufigkeiten sowie anhand weniger Kenngrößen zur Charakterisierung der Lage oder Streuung beschreiben und veranschaulichen kann. Zahlen, die einen Sachverhalt quantifizieren, nennt man allgemein Maßzahlen. Wenn man zwei Maßzahlen durch Quotientenbildung miteinander verknüpft, spricht man von einer Verhältniszahl. Verhältniszahlen sollen die Vergleichbarkeit statistischer Informationen für unterschiedliche Regionen oder Zeitpunkte ermöglichen. Es wäre z. B. kaum informativ oder gar irreführend, wenn man die Schuldenlast der Bundesländer Nordrhein-Westfalen und Bremen oder die registrierten Aidsfälle in Deutschland und in Luxemburg vergliche, ohne in beiden Fällen die sehr unterschiedlichen Bevölkerungszahlen einzubeziehen.

In Abschnitt 4.1 wurde beschrieben, wie man Daten für ein diskretes oder ein gruppiertes stetiges Merkmal X anhand von absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen charakterisieren und grafisch präsentieren kann. In vielen Anwendungen interessiert man sich aber nicht nur für ein einziges, sondern gleichzeitig für zwei oder mehr Merkmale, für die ein Datensatz von je n Beobachtungswerten vorliegt. Diese Daten will man grafisch aufbereiten und Zusammenhänge zwischen den Merkmalen erfassen. Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf den Fall zweier Merkmale, also auf die bivariate Datenanalyse. Als Beispiele für die gemeinsame Erhebung zweier Merkmale seien die simultane Erfassung der Merkmale „Parteipräferenz X von Wählern“ und „Geschlecht Y “ genannt oder „Jahresbruttoeinkommen X eines Arbeitnehmers“ und „Bildungsstand Y “, letzterer operationalisiert über den höchsten erreichten Bildungsabschluss einer Person. Wie man Datensätze für zwei Merkmale aufbereitet und welches Zusammenhangsmaß verwendet werden kann, hängt von der Merkmalsskalierung ab.

In Abschnitt 8.2 wurde mit (8.10) formalisiert, was unter einem fehlenden Zusammenhang für zwei nominalskalierte Merkmale X und Y zu verstehen ist, also unter empirischer Unabhängigkeit dieser Merkmale. Wenn keine Übereinstimmung festgestellt wird, also ein empirischer Zusammenhang vorliegt, will man diesen anhand eines geeigneten Zusammenhangsmaßes quantifizieren. Da diese Differenzen sowohl positiv als auch negativ sein können, sich also bei Aufsummierung ganz oder teilweise zu neutralisieren vermögen, verwendet man die Summe der quadrierten Differenzen. Wenn man diese Terme analog zu Tabelle 8.1 (innerer Bereich) in einer Tabelle mit k Zeilen und m Spalten anordnet, kann man die genannte Summe errechnen, indem man z.

Aus dem Alltagsleben ist jedem von uns bekannt, dass es Vorgänge gibt, deren Ergebnis vom Zufall abhängt. Man denkt vielleicht zunächst an Glücksspiele (Roulette, Würfelspiele, Ziehung der Lottozahlen), an die Entwicklung von Börsenkursen oder an Wahlergebnisse, die z. B. vom Wetter am Wahltag beeinflusst werden können. Versicherungen sind an der Abschätzung von Schadensverläufen oder der Lebenserwartung von Neugeborenen interessiert, Politikverantwortliche wollen demografische Entwicklungen prognostizieren können und Unternehmen benötigen statistische Informationen zur Quantifizierung von Marktrisiken. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt Modelle bereit, die es erlauben, den Verlauf zufallsabhängiger Prozesse abzuschätzen und von Stichproben auf Grundgesamtheiten zu schließen. Die bisher thematisierte beschreibende Statistik charakterisiert gegebene Datensätze ohne einen Rückschluss auf Eigenschaften umfassenderer Grundgesamtheiten zu vermitteln.

In Kapitel 2 wurde zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterschieden. Eine Zufallsvariable X wurde als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele, höchstens aber abzählbar unendlich viele Ausprägungen annehmen kann. Beispiele für diskrete Zufallsvariablen sind etwa die Merkmale „Augenzahl beim Wurf mit einem Würfel“ (sechs Ausprägungen) oder „Anteil der SPD-Zweitstimmen in % bei den Bundestagswahlen im Zeitraum 1990 - 2005“ (fünf Ausprägungen). Zählvariablen sind stets diskret. Als stetig gelten Zufallsvariablen, bei denen die Menge der Ausprägungen Intervalle sind. Die Anzahl der Ausprägungen ist hier nicht mehr abzählbar.

Die in Kapitel 11 behandelten diskreten Zufallsvariablen sind dadurch gekennzeichnet, dass man die Anzahl ihrer Ausprägungen abzählen kann. Sie haben also endlich viele Ausprägungen oder zumindest abzählbar unendlich viele Ausprägungen, die die Trägermengeder Variablen definieren. Das Zufallsverhalten einer diskreten Zufallsvariablen X mit k Ausprägungen x _i (i = 1,..., k) und den Eintrittswahrscheinlichkeiten p _i = P(X = x _i ) lässt sich vollständig durch die in (11.1) eingeführte Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) beschreiben. Alternativ kann man auch die Verteilungsfunktion F(x) aus (11.2) bzw. (11.3) zur Beschreibung heranziehen, die sich durch durch Aufsummieren aller Werte ergibt, die die Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zur Stelle x annimmt.

In Abschnitt 10.4 wurde der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen erklärt. Zwei Ereignisse A und B gelten als unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf das jeweils andere Ereignis hat. Formal lässt sich Unabhängigkeit gemäß (10.16) definieren. Danach sind A und B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B) für das gleichzeitige Eintreten von A und B als Produkt der Eintrittswahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) der Einzelereignisse darstellbar ist.

In der Praxis der empirischen Forschung will man nicht nur Modellparameter schätzen, sondern häufig auch Hypothesen H ₀ und H ₁ auf der Basis von Daten überprüfen. Ausgangspunkt ist eine Fragestellung, die sich oft auf die Verteilung eines einzigen Merkmals bzw. auf eine Kenngröße der Verteilung dieses Merkmals bezieht und auf der Basis der Daten von Stichprobenbefunden geklärt werden soll. Man spricht von einem Einstichproben-Test, wenn ein Test die Information nur einer Stichprobe verwendet. Manchmal testet man auch Hypothesen, die sich auf zwei Zufallsvariablen beziehen, z. B. auf die Erwartungswerte oder Varianzen zweier Variablen X und Y. Solche Tests, die die Verteilung zweier Zufallsvariablen betreffen und die Information aus zwei Stichproben nutzen, heißen Zweistichproben-Tests. Es gibt auch Tests für k Zufallsvariablen, die mit k Stichproben arbeiten (k > 2) und entsprechend als k-Stichproben-Tests etikettiert werden.

Sir Francis Galton (1822 - 1911), Sohn einer wohlhabenden Quäkerfamilie und Halbcousin von Charles Darwin (1809 - 1882), war ein wissbegieriger Weltreisender und vor allem ein überaus vielseitiger Naturforscher, der u. a. Wetterdaten auswertete und Klimakarten publizierte, erstmals Verfahren zur Personenidentifikation anhand von Fingerabdrücken entwickelte und sich – mit polarisierender Wirkung – auch zu Fragen der Vererbungslehre äußerte. Er sammelte Daten, um aus diesen Zusammenhangshypothesen abzuleiten und empirisch abzusichern. Seine empirischen Arbeiten sind für mehrere Wissenschaftszweige als Pionierleistungen zu bewerten. Dies gilt insbesondere für die Statistik sowie für die Biometrie, die sich mit der Gewinnung und Auswertung von Daten an Lebewesen befasst und ein wichtiges Anwendungsfeld der Statistik darstellt.

In der Mathematik und anderen Wissenschaften, u. a. in der Physik, der Ökonometrie, der Statistik oder auch – bei der Anwendung multivariater Verfahren – in der Psychologie, werden häufig Vektoren und Matrizen verwendet, um mathematische Sachverhalte kompakter und übersichtlicher darzustellen. Einen n Elemente umfassenden Satz x ₁, x ₂,...,x _n reeller Zahlen kann man z. B. zu einem n-Tupel zusammenfassen. Wenn man ein solches n-Tupel von reellen Zahlen vertikal anordnet, erhält man einen Spaltenvektor, den man in Lehrbüchern meist mit einem fett gesetzten lateinischen oder griechischen Kleinbuchstaben kennzeichnet, hier z. B. x. Wenn man das n-Tupel horizontal anordnet, also eine Anordnung (x ₁, x ₂,...,x _n ) verwendet, spricht man von einem Zeilenvektor.

In der nachstehenden Tabelle 19.1 sind Werte F(x) der Verteilungsfunktion einer B(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X für n = 1, 2, . . . , 20 und p = 0, 05, 0, 10, . . . , 0, 50 zusammengestellt. Man entnimmt der Tabelle z. B., dass F(x) im Falle n = 10 und p = 0, 50 für x = 3 den Wert F(3) = 0, 1719 annimmt. Dieser Wert entspricht der Summe f(0), f(1), f(2), f(3) aller Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zur Stelle x = 3. Will man also z. B. den Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für x = 3 anhand von Tabelle 19.1 errechnen, so ergibt sich dieser offenbar als Differenz F(3) – F(2) der Werte der Verteilungsfunktion, also durch f(3) = 0, 1719 – 0, 0547 = 0, 1172.

Ein Marktforschungsinstitut untersucht das Fernsehverhalten von Schulkindern in Deutschland. Die Untersuchung soll u. a. Aufschluss darüber geben, wie lange und zu welchen Tageszeiten Kinder durchschnittlich Fernsehen gucken und welche Sender sie bevorzugen.

Die Grundgesamtheit ist durch alle in Deutschland lebenden Schulkinder definiert, die Schulkinder sind die statistischen Einheiten (Merkmalsträger). Interessierende Merkmale sind hier vor allem die Dauer des täglichen Fernsehkonsums (z. B. mit den Ausprägungen „Minuten“ oder „Viertelstunden“) und der Fernsehsender (evtl. nur mit Differenzierung zwischen den Ausprägungen „privater Sender“ und „öffentlich-rechtlicher Sender“).

Die nachstehende kommentierte Lehrbuchliste soll helfen, bei Bedarf tiefer in einzelne Themenbereiche einzudringen, etwa bei Auftreten von Verständnisschwierigkeiten bei der Bearbeitung des vorliegenden Manuskripts oder bei weitergehendem persönlichen Interesse.