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2011 | OriginalPaper | Buchkapitel

On Collinear Sets in Straight-Line Drawings

verfasst von : Alexander Ravsky, Oleg Verbitsky

Erschienen in: Graph-Theoretic Concepts in Computer Science

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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We consider straight-line drawings of a planar graph

G

with possible edge crossings. The

untangling problem

is to eliminate all edge crossings by moving as few vertices as possible to new positions. Let

fix

G

denote the maximum number of vertices that can be left fixed in the worst case among all drawings of

G

. In the

allocation problem

, we are given a planar graph

G

on

n

vertices together with an

n

-point set

X

in the plane and have to draw

G

without edge crossings so that as many vertices as possible are located in

X

. Let

fit

G

denote the maximum number of points fitting this purpose in the worst case among all

n

-point sets

X

. As

fix

G

 ≤ 

fit

G

, we are interested in upper bounds for the latter and lower bounds for the former parameter.

For any

ε

 > 0, we construct an infinite sequence of graphs with

fit

G

 = 

O

(

n

σ

 + 

ε

), where

σ

 < 0.99 is a known graph-theoretic constant, namely the shortness exponent for the class of cubic polyhedral graphs. On the other hand, we prove that

$fix G\ge\sqrt{n/30}$

for any graph

G

of tree-width at most 2. This extends the lower bound obtained by Goaoc et al. [

Discrete and Computational Geometry

42:542–569 (2009)] for outerplanar graphs. Our results are based on estimating the maximum number of vertices that can be put on a line in a straight-line crossing-free drawing of a given planar graph.

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Metadaten
Titel
On Collinear Sets in Straight-Line Drawings
verfasst von
Alexander Ravsky
Oleg Verbitsky
Copyright-Jahr
2011
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-25870-1_27