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2003 | Buch

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Kontinuumsmechanik

Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker

verfasst von: Dr. Ralf Greve

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Professional Book Archive

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Über dieses Buch

Dieses Buch behandelt die grundlegenden Konzepte der Kontinuumsmechanik, also der klassischen Feldtheorie der deformierbaren Körper. Die Theorie wird systematisch von der Kinematik über die Bilanzgleichungen, die Materialtheorie und die Entropieprinzipien entwickelt. Als konkrete Anwendungen werden ausführlich der linear-elastische Festkörper, die ideale Flüssigkeit und die Newtonsche Flüssigkeit vorgestellt. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Mischungstheorie. Generell wird Wert auf eine klare und verständliche Darstellung gelegt, die lediglich elementare Kenntnisse der Analysis, linearen Algebra und Newtonschen Mechanik voraussetzt. Der Text wird ergänzt durch eine Vielzahl von ausgearbeiteten Problemen unterschiedlicher Schwierigkeit, die den Leser und die Leserin dazu einladen, sich aktiv mit der Materie auseinanderzusetzen. Das Buch wendet sich an Studenten und Studentinnen der Physik, Mechanik, Ingenieur- und Geowissenschaften sowie der Angewandten Mathematik nach dem Vordiplom.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Kinematik

Zusammenfassung

Unter Kinematik, um welche es in diesem ersten Kapitel gehen soll, versteht man die rein geometrische Beschreibung von Bewegungen, d. h., ohne Berücksichtigung von Kräften als deren Ursache. Im Gegensatz dazu steht die später zu behandelnde Dynamik, welche Kräfte als Bewegungsursachen mit einbezieht und es daher ermöglicht, Bewegungen im Sinne von Anfangsrandwertproblemen zu berechnen.

Ralf Greve

2. Bilanzgleichungen

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel haben wir uns mit den rein kinematischen Aspekten der Bewegung von Körpern befasst, d. h., wir haben uns die Bewegungsfunktion x(X,t) als gegeben vorgestellt und untersucht, welche Eigenschaften die so beschriebene Bewegung hat. Die eigentliche Aufgabe der Kontinuumsmechanik ist jedoch, die Bewegung kontinuierlicher Körper (sowie die Felder von Dichte und Temperatur) unter Vorgabe bestimmter Anfangs-und Randbedingungen dynamisch zu berechnen. Die dazu erforderlichen Feldgleichungen lassen sich gewinnen durch Kombination der allgemeingültigen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls, Drehimpuls (Drall) und Energie und der materialspezifischen Konstitutivgleichungen (auch als Materialgleichungen bezeichnet). In diesem Kapitel wird es daher darum gehen, diese Bilanzgleichungen aufzustellen und ihre Eigenschaften zu untersuchen.

Ralf Greve

3. Der linear-elastische Festkörper

Zusammenfassung

Ein Material heißt elastisch, wenn der Spannungstensor t einem Materialgesetz der Form

$$ t = t(F)$$

(3.1)

gehorcht, d. h., t nur vom aktuellen Deformationsgradienten F abhängt. Insbesondere sind Temperaturabhängigkeiten ausgeschlossen, sodass die Energiebilanz (2.190) nicht betrachtet werden muss. Wir werden später im Rahmen der Materialtheorie beweisen, dass für ein isotropes elastisches Material t nicht in beliebiger Weise von F abhängen kann, sondern dessen allgemeinste Materialgleichung

$$ t={a_0}({I_B},I{I_B},II{I_B})1+{a_1}({I_B},I{I_B},II{I_B})B+{a_2}({I_B},I{I_B},II{I_B}){B^2}$$

(3.2)

lautet. Dabei ist B = V² = F · F^T der Links-Cauchy-Green-Tensor, und die skalaren Funktionen ao, al, a2 können in beliebiger Weise von den Invarianten von B, IB, IIB und IIIB(vgl. Abschn. 2.8.2),abhängen.

Ralf Greve

4. Hydrodynamik

Zusammenfassung

Im Gegensatz zu Festkörpern wie dem im vorigen Abschnitt behandelten linear-elastische Festkörper zeichnen sich Fluide dadurch aus, dass sie in Ruhe (Gleichgewichtszustand) keine Schubspannungen aufrecht erhalten können, d. h., für υ = 0 verschwindet der Spannungsdeviator t^D.

Ralf Greve

5. Materialtheorie

Zusammenfassung

Nachdem in den beiden vorigen Kapiteln mit dem linear-elastischen Festkörper, dem idealen Fluid und dem Newtonschen Fluid drei für die Anwendung wichtige spezielle Materialien vorgestellt und besprochen wurden, kommen wir nun zur allgemeinen Theorie der Formulierung von Materialgleichungen.

Ralf Greve

6. Entropieprinzip

Zusammenfassung

Bei der Behandlung der Materialtheorie im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie man aus den Bilanzgleichungen füur Masse, Impuls und Energie durch Hinzunahme von Materialgleichungen füur den Spannungstensor, den Wäarmefluss und die innere Energie ein geschlossenes, prinzipiell löosbares Gleichungssystem erhalten kann. Mit Hilfe diverser Prinzipien, zum Teil allgemeingüultiger Natur, zum Teil Spezialisierungen (Determinismus, Lokalit¡§at, materielle Objektivit äat, materielle Isotropie…) waren wir in der Lage, weitgehende Einschr äankungen füur derartige Materialgleichungen zu formulieren. Der Einfluss der Entropiebilanz und des damit zusammenhäangenden Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, welcher dir Irreversibilitäat vieler thermodynamischer Prozesse zum Ausdruck bringt, wurden dabei jedoch noch ausgeklammert. Damit werden wir uns in diesem Kapitel beschäaftigen, und wir werden sehen,dass daraus zusäatzliche Restriktionen füur die diversen Materialgleichungen resultieren.

Ralf Greve

7. Mischungstheorie

Zusammenfassung

Zuweilen steht man vor der Situation, dass ein kontinuumsmechanisch zu beschreibender Körper aus verschiedenen Materialien zusammengesetzt ist. Wenn dabei das eingenommene Volumen großskalig in klar abgegrenzten Bereichen von den Komponenten ausgefüllt wird (Abb. 7.1, links), kann der Körper mit den bisher kennengelernten Methoden sinnvoll beschrieben werden: Man erhält dann in den verschiedenen Bereichen verschiedene Sätze von Feldgleichungen, die über Sprungbedingungen an den Grenzfiächen gekoppelt sind. Häufig sind jedoch die Komponenten mehr oder weniger gleichmäßig über das gesamte Volumen verteilt, sodass einerseits die Aufteilung des Volumens sehr komplex und kleinskalig ist, und man andererseits gar nicht an der genauen räumlichen Verteilung der Komponenten interessiert ist (Abb. 7.1, rechts).

Ralf Greve

Backmatter

Titel: Kontinuumsmechanik
verfasst von: Dr. Ralf Greve
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-55485-8
Print ISBN: 978-3-642-62463-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-55485-8

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Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Kinematik

2. Bilanzgleichungen

3. Der linear-elastische Festkörper

4. Hydrodynamik

5. Materialtheorie

6. Entropieprinzip

7. Mischungstheorie

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