Grundzüge der Thermodynamik

Frontmatter

1. Aufgabe der Thermodynamik und ihre Bilanzgleichungen

Zusammenfassung

Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur sind während eines Prozesses nicht an allen Stellen eines Körpers gleich, noch sind sie zeitlich konstant. Man sagt deshalb, Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur seien zeitabhängige Felder.

Ingo Müller

2. Materialgleichungen

Zusammenfassung

Wir erinnern uns, daß es das Ziel der Thermodynamik ist, die 5 Felder

$$ Massendichte \rho (x_n ,t), Geschwindigkeit w_i (x_n ,t), Temperatur T(x_n ,t) $$

(2.1)

zu bestimmen. Um dieses Ziel zu erreichen, braucht man 5 Gleichungen, welche diese Felder verknüpfen. Nun haben wir 5 Bilanzen abgeleitet: die Erhaltungssätze für Masse und Impuls und die Bilanz der inneren Energie

$$ \begin{gathered} \frac{{\partial \rho }} {{\partial t}} + \frac{{\partial \rho w_i }} {{\partial x_i }} = 0 \hfill \\ \frac{{\partial \rho w_j }} {{\partial t}} + \frac{{\partial (\rho w_j w_i - t_{ji} )}} {{\partial x_i }} = \rho f_j \hfill \\ \frac{{\partial \rho u}} {{\partial t}} + \frac{{\partial (\rho uw_i + q_i )}} {{\partial x_i }} = \rho z + t_{ji} \frac{{\partial w_j }} {{\partial x_i }}. \hfill \\ \end{gathered} $$

(2.2)

Wir werden annehmen, daß f_j und z als Funktionen von x_n und t gegeben sind; bei unseren Überlegungen ist meist f_j die Schwerkraft mit f_j = (0,0,−g) und z = 0. Trotzdem reichen die Gleichungen (2.2) für die Bestimmung von ρ, W_i, T nicht aus, denn in ihnen kommen zusätzliche Größen vor, nämlich Spannungstensor t_ji, spezifische innere Energie u und Wärmefluß q_i; und dafür kommt die Temperatur T überhaupt nicht vor.

Ingo Müller

3. Reversible Prozesse. Die „pdV-Thermodynamik“ bei der Berechnung thermodynamischer Maschinen

Zusammenfassung

Wir erinnern uns an Abschnitt 1.7, wo wir reversible Prozesse besprochen haben, für die die übertragene Arbeit die Form annimmt

$$ \dot Adt = - pdV. $$

(3.1)

Diese Gleichung gilt bei Vernachlässigung von Scherspannungen und von Druckunterschieden, und für viele technische Prozesse ist sie gut genug, um qualitative heuristische Aussagen zu erhalten, etwa Uber die zur Kompression von Luft im Kompressor benötigte Arbeit.

Ingo Müller

4. Entropie

Zusammenfassung

Rudolf Julius Emmanuel CLAUSIUS (1822–1888) hat Schlüsse gezogen aus den folgenden Erfahrungen

„Wärme kann nicht von selbst von einem kälteren in einen wärmeren Körper übergehen“

, oder

„Ein Wärmeübergang aus einem kälteren in einen wärmeren Körper kann nicht ohne Kompensation stattfinden.“

Diese Aussagen bezeichnet man als den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

Ingo Müller

5. Dampfmaschine und Kältemaschinen

Zusammenfassung

Es war Papin — der Erfinder des Dampfkochtopfs, siehe Absatz 2.5.8, — der als Erster Dampf kondensierte und so ein Gewicht hob. Er besaß eine Messingröhre mit ca. 5 cm Durchmesser; etwas Wasser am Boden wurde verdampft und hob so einen darüber-liegenden Kolben, den Papin oben durch einen Riegel fixierte. Danach wurde die Röhre vom Feuer genommen, der Dampf kondensierte, und es bildete sich ein Torricelli-Vakuum. Nach Öffnen des Riegels drückte der Luftdruck den Kolben nach unten und hob dabei ein Gewicht von 60 Pfund.

Ingo Müller

6. Wärmeübertragung

Zusammenfassung

In einer ruhenden Flüssigkeit mit konstanter Dichte sind Massen- und Impulsbilanz identisch erfüllt, — vorausgesetzt, man vernachlässigt die thermische Ausdehnung — und die Energiebilanz (1.48) reduziert sich auf die Form

$$ \rho \frac{{\partial u}} {{\partial t}} + \frac{{\partial q_i }} {{\partial x_i }} = 0. $$

(6.1)

Die spezifische innere Energie u ist dann auch nur eine Funktion der Temperatur. Der Wärmefluß q_i wird durch das Fourier-Wärmeleitgesetz (2.3)₃ gegeben. Wir schreiben

$$ u = cT + \alpha und qi = - \kappa \frac{{\partial T}} {{\partial x_i }} $$

(6.2)

und nehmen an, daß die spezifische Wärme c und die Wärmeleitfähigkeit κ konstant sind. Dann folgt aus (6.1) und (6.2)

$$ \frac{{\partial T}} {{\partial t}} = \lambda \frac{{\partial ^2 T}} {{\partial x_i \partial x_i }}, mit \lambda \frac{\kappa } {{\rho c}}. $$

(6.3)

λ heißt die Temperaturleitfähigkeit, sie ist positiv.

Ingo Müller

7. Mischungen und Mischphasen

Zusammenfassung

Wir betrachten Mischungen oder Lösungen bzw. Legierungen von ν Komponenten und charakterisieren die einzelnen Komponenten durch griechische Indizes. So ist p_α der Partialdruck der Komponente α, ρ_α ihre Dichte, und u_α sowie s_α sind die spezifischen Werte ihrer inneren Energie und Entropie. Druck, Dichte, innere Energiedichte und Entropiedichte der Mischung setzen sich additiv zusammen aus den entsprechenden Partialgrößen

$$ p = \sum\limits_{\alpha = 1}^\nu {p_\alpha } , \rho = \sum\limits_{\alpha = 1}^\nu {\rho _\alpha } , \rho u = \sum\limits_{\alpha = 1}^\nu {\rho _\alpha u_\alpha } , \rho s = \sum\limits_{\alpha = 1}^\nu {\rho _\alpha s_\alpha } . $$

(7.1)

Ingo Müller

8. Chemisch reagierende Mischungen

Zusammenfassung

M_α sei die Masse der Komponente α in einer homogenen Mischung, und die Massenbilanz lautet

$$ \frac{{dm_\alpha }} {{dt}} = \tau _\alpha V, (\alpha = 1,2,...\nu ), $$

(8.1)

wo τ_α die Dichte der Massenproduktion von Komponente α ist. Es ist klar, daß die Summe aller τ_α gleich Null sein muß, denn die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße bei chemischen Reaktionen. Dies ist jedoch nicht die einzige Bedingung an die Produktionsdichten τ_α. Weitere Bedingungen folgen aus der Tatsache, daß die Zahl der Atome — und ihre Masse — in einer chemischen Reaktion erhalten bleibt; die vorhandenen Atome ändern in der Reaktion nur ihre Anordnung zu Molekülen. Die Untersuchung der Bedingungen, unter denen dies geschieht, ist Gegenstand der Stöchiometrie (grch. stoichos “Ordnung” + metron “Maß”).

Ingo Müller

9. Feuchte Luft

Zusammenfassung

Ungesättigte feuchte Luft ist eine Mischung aus Luft und Wasserdampf. Beide werden als ideale Gase angesehen. Tatsächlich benutzen wir die ideale Gasgleichung für Wasserdampf bis zum Zustand der Sättigung, wo Kondensation auftritt. Bei einer gegebenen Temperatur soll das passieren, wenn der Wasserdampfdruck den Wert p′ = p(T) hat, den man aus der Wasserdampftafel abliest, siehe Tabelle 2.4.

Ingo Müller

10. Ausgesuchte Kapitel der Thermodynamik

Zusammenfassung

Wir untersuchen das Gleichgewicht eines Flüssigkeitstropfens mit seinem Dampf, und gleichzeitig entwickeln wir die Gleichgewichtsbedingungen, die für eine Dampfblase in der umgebenden Flüssigkeit gelten. Abb. 10.1 zeigt die betrachteten Systeme und führt die Bezeichnungen ein. Tropfen und Blase seien kugelförmig, p sei der Außendruck, und T sei die Temperatur. Bei der Teilung einer Seite beziehen sich Formeln und Bilder links auf den Tropfen, rechts auf die Blase.

Ingo Müller

11. Thermodynamik irreversibler Prozesse

Zusammenfassung

Wir erinnern uns, daß wir es — am Anfang dieses Buches — zum Ziel der Thermodynamik erklärt haben, die fünf Felder

$$ \begin{gathered} Massendichte \rho (x,t) \hfill \\ Geschwindigkeit w_i (x,t). \hfill \\ Temparatur T(x,t) \hfill \\ \end{gathered} $$

(11.1)

zu bestimmen. Zu diesem Zweck braucht man Feldgleichungen, und diese leiten sich ab aus den Bilanzgleichungen der Strömungsmechanik und der Thermo­dynamik; nämlich den Erhaltungssätzen der Masse und des Impulses, sowie der Bilanzgleichung der inneren Energie, siehe (1.10), (1.16) und (1.48). Ohne Volumkraft und Strahlungszufuhr können diese Gleichungen geschrieben werden als

$$ \begin{gathered} \dot \rho + \rho \frac{{\partial w_i }} {{\partial x_i }} = 0 \hfill \\ \rho \dot w_i + \frac{{\partial t_{ji} }} {{\partial x_j }} = 0 \hfill \\ \rho \dot u + \frac{{\partial q_i }} {{\partial x_i }} = t_{ij} \frac{{\partial w_j }} {{\partial x_i }} \hfill \\ \end{gathered} $$

(11.2)

Dabei ist \( \dot a = \frac{{\partial a}} {{\partial t}} + w_j \frac{{\partial a}} {{\partial x_j }} \) die substantielle oder materielle Zeitableitung, d.h. die Änderungsrate von a, wie sie von einem Beobachter gesehen wird, der sich mit der Strömung bewegt.

Ingo Müller

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