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2000 | Buch | 7. Auflage

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine Einführung

verfasst von: Prof.Dr. Wolfgang Walter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

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Über dieses Buch

In der nunmehr 7., neu bearbeiteten und erweiterten Auflage legt W. Walter sein Lehrbuch über Gewöhnliche Differentialgleichungen vor, das schon so etwas wie ein "moderner Klassiker" geworden ist. Das Buch entspricht dem aktuellen Forschungsstand. Es behandelt neben der klassischen Theorie vor allem solche Themen, die für das Studium dynamischer Systeme und des qualitativen Verhaltens gewöhnlicher Differentialgleichungen unentbehrlich sind. Ein Anhang stellt zentrale Begriffe aus Analysis und Topologie bereit. Dieses Lehrbuch bietet dem Studenten eine optimale Einführung in das Gebiet der Differentialgleichungen, die sich durch Übersichtlichkeit im Aufbau und Klarheit in der Beweisführung auszeichnet. Viele instruktive Beispiele mit Lösungen zu ausgewählten Aufgaben runden dieses Werk ab.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Einleitung
Zusammenfassung
Unter einer Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, in welcher unabhängige Variable, Funktionen und Ableitungen von Funktionen auftreten. Ein Beispiel ist
$$ y{\text{' + 2}}xy{\text{ = 0; }} $$
(1)
hierin ist x die unabhängige Variable, y die gesuchte Funktion. Eine Lösung ist eine Funktion y = ø(x), für welche (1) identisch in x gilt, also ø’(x)+2x.ø(x) = 0. Man rechnet leicht nach, daß die Funktion y = e-x2 eine Lösung ist: {fy|1-2}
Wolfgang Walter
I.. Differentialgleichungen erster Ordnung: Elementare Methoden
Zusammenfassung
Wir betrachten hier die explizite Differentialgleichung erster Ordnung
$$ y{\text{' = }}f(x, y){\text{.}} $$
(2)
. Dabei sei die rechte Seite f(x,y) auf einer Menge D der (x,y)-Ebene als reellwertige Funktion erklärt.
Wolfgang Walter
II.. Differentialgleichungen erster Ordnung: Theorie
Zusammenfassung
Eine Reihe von Fragen aus der Theorie der Differentialgleichungen lassen sich unter Verwendung allgemeiner Begriffe, wie sie die Punktionalanalysis geprägt hat, besonders elegant behandeln. Wir werden funktionalanalytische Methoden zur Gewinnung von Existenz-, Eindeutigkeits- und Abhängigkeitssätzen benutzen. Für unsere Zwecke ist der Begriff des Banachraumes angemessen.
Wolfgang Walter
III.. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung
Zusammenfassung
I. Systeme von Differentialgleichungen. Richtungsfeld. Die n Funktionen f 1(x, y 1,... ,y n ),...f n (x, y 1,... ,y n ), seien auf einer Menge D des (n + l)-dimensionalen (x, y 1,... ,y n )-Raumes ℝ n+1 definiert. Sie bilden die „rechte Seite“ eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung (in expliziter Gestalt)
$$\begin{array}{*{20}{c}} {y_{1}^{\prime } = {{f}_{1}}(x,{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{n}})} \hfill \\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots & { \vdots } \\ \end{array} } \hfill \\ {y_{n}^{\prime } = {{f}_{n}}(x,{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{n}}).} \hfill \\ \end{array}$$
(1)
Wolfgang Walter
IV.. Lineare Differentialgleichungen
Zusammenfassung
I. Matrizen. Mit großen lateinischen Buchstaben werden n x n-Matrizen bezeichnet,
$$ A = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11,} } & \ldots & {a_{1n} } \\ \vdots & {} & \vdots \\ {a_{n1} ,} & \cdots & {a_{nn} } \\ \end{array} } \right) = \left( {a_{ij} } \right) $$
(4)
mit aij ∈ ℝ oder ℂ. Sie bilden einen reellen oder komplexen linearen Raum, wenn man wie üblich {fy|167-2} ℝn 2 setzt; man kann ihn als ℝn2 (oder bei komplexen aij, bij, ⋋ als ℂn2 ) auffassen.
Wolfgang Walter
V.. Lineare Systeme im Komplexen
Zusammenfassung
I Bezeichnungen. Gegenstand dieses V. Kapitels sind homogene lineare Systeme erster Ordnung {fy|223- (1)} und homogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. Dabei ist A(z) = (aij (z)) eine komplexwertige n x n-Matrix, w(z) = (w1(z),..., wn(z))T eine komplexwertige Vektorfunktion. Es bezeichnet G ⊂ ℂ eine offene Menge und H(G) die Menge der in G eindeutigen, holomorphen Funktionen. Wie bisher bedeutet z. B. A(z) ∈ H(G), daß jede Komponente aij(z) aus H(G) ist. Normen für komplexe Spaltenvektoren und n x n-Matrizen werden wie bisher mit einfachen Absolutstrichen gekennzeichnet, und es werden die Eigenschaften (14.2–3)
$$ w{\text{'(}}z{\text{) = A(z)w(z)}} $$
(5)
vorausgesetzt. Unter einer Matrix verstehen wir im folgenden immer eine komplexe n x n-Matrix.
Wolfgang Walter
VI.. Rand- und Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
I. Allgemeines. Man spricht von einem Randwertproblem oder einer Randwertaufgabe für die Differentialgleichung n-ter Ordnung
$$ {\text{u(n) = !(x,u, }}...{\text{ ,u(n - l)),}} $$
(6)
wenn die n zusätzlichen Bedingungen, welche die Lösung eindeutig charakterisieren sollen, nicht an einer einzigen Stelle gestellt werden wie beim Anfangswertproblem, sondern an den beiden Randpunkten a und b des Intervalls [a,b], in welchem die Lösung gesucht ist.
Wolfgang Walter
VII.. Asymptotisches Verhalten und Stabilität
Zusammenfassung
I. Einleitung. Wir knüpfen hier an die Fragestellung von § 12 an. Neu ist gegenüber den dortigen Untersuchungen, daß jetzt Lösungen in unendlichen Intervallen betrachtet werden. Hierbei wird die Frage der stetigen Abhängigkeit vom Anfangswert und von der rechten Seite einer Differentialgleichung wesentlich komplizierter als in § 12, wo allgemeine Ergebnisse unter geringen Voraussetzungen erzielt worden sind. Daß bei unendlichen Intervallen neue Phänomene auftreten, zeigen schon die einfachsten Beispiele.
Wolfgang Walter
Backmatter
Metadaten
Titel
Gewöhnliche Differentialgleichungen
verfasst von
Prof.Dr. Wolfgang Walter
Copyright-Jahr
2000
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-57240-1
Print ISBN
978-3-540-67642-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-57240-1