Phänomenologische Rheologie

Die Rheologie ist als eine eigenständige Disziplin aus der im Jahr 1928 be- gonnenen Zusammenarbeit EUGENE COOK BlNGHAMs und MARKUS REINERs hervorgegangen und stellt insofern eine noch relativ junge Wissenschaft dar. Es hat auch eine ganze Weile gedauert, bis sie aus ihrem ersten „heroischen“ Stadium heraus in ihr zweites, das der Konsolidierung, getreten ist, d.h. eine ausgeprägte Struktur gewonnen und im Raum der Naturwissenschaften einen definierten Standort gefunden hat. So konnte noch auf der Jahrestagung der Britisch Society of Rheology im Jahr 1964 ein Redner seinen Vortrag mit der Bemerkung einleiten: „Bis vor wenigen Jahren wußte niemand, was Rheologie überhaupt ist; heute weiß es jeder, aber jeder versteht darunter etwas anderes!“

Die Phänomenologische Rheologie basiert auf den klassischen Kontinuumstheorien, insbesondere auf der klassischen Kontinuumsmechanik und Thermodynamik. Ungeachtet der heutigen Kenntnisse über den strukturellen Aufbau der Materie aus Molekülen, Atomen und Elementarteilchen ist diese Betrachtungsweise für die Beschreibung makroskopischer Vorgänge angemessen, solange deren Maßstäbe hinreichend groß gegen die für die Mikrostruktur charakteristichen Maßstäbe (z.B. die Abstände der benachbarten Atome bzw. Moleküle in Festkörpern und Flüssigkeiten oder die freie Weglänge in Gasen) sind. Im Sinne einer statistischen Theorie können die in der Kontinuumstheorie vorkommenden Größen (z.B. Massendichte, Impuls, kinetische Energie, Temperatur usw.) als Erwartungswerte interpretiert werden, und diese Theorie wird daher solange anwendbar sein, wie nur solche Erwartungswerte selbst, nicht aber die zugeordneten Schwankungsgrößen von Bedeutung sind.

Jedem materiellen Körper B ist ein nicht-negatives skalares Maß, die Masse m(B), zugeordnet. Dies gilt ebenso für jeden Teilkörper P.

Mit Hilfe des in Abschnitt 2.3 eingeführten Verformungsgradienten kann zwar die lokale Konfigurationsänderung relativ zu einer Referenzkonfiguration beschrieben werden. Dies ist aber nicht schon gleichbedeutend mit einer Verformung selbst, denn in diesem Verformungsgradienten ist, wie schon in Abschnitt 2.3 angemerkt, im allgemeinen ein lokaler Drehungsanteil vorhanden. Er beschreibt sogar eine reine Drehung, wenn er eigentlich orthogonal ist. Andererseits legt die Abschätzung von Abschnitt 3.8 nahe, daß die Verformung durch einen symmetrischen Tensor beschrieben wird. Dies läßt an eine polare Zerlegung von F bzw. F⁻¹ denken, vgl. Abschnitt A.l.2.3. Eine solche erlaubt unter der stets erfüllten Bedingung det F > 0, den Verformungsgradienten multiplikativ in einen symmetrischen und in einen eigentlich orthogonalen Tensor zu zerlegen und den symmetrischen Anteil dann als Verformungsmaß zu betrachten. Dieser Weg soll auch im weiteren beschritten werden. Es erscheint aber zweckmäßig, Verformungsmaße zuvor auf einem noch elementareren Weg abzuleiten, nämlich indem man nach der Beziehung fragt, in welcher der Betrag von dx zu dΧ steht bzw. umgekehrt der Betrag von dΧ zu dx.

In den vorangegangenen Kapiteln sind zum einen die aus den Begriffen der Konfiguration und der Bewegung eines materiellen Kontinuums abgeleiteten geometrischen und kinematischen Grundlagen der Verformung sowie zum anderen die aus den dynamischen Grundbegriffen Masse und Kraft abgeleiteten Größen Massendichte, Volumenkraft dichte und Spannung eingeführt worden. Damit ließen sich die weitgehend allgemeinen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls, Drehimpuls, Energie und Entropie ableiten.¹ Wie in Abschnitt 3.8 aller- dings schon angemerkt worden ist, wird durch diese Gleichungen ein mechani- sches Problem noch nicht vollständig definiert, sondern es müssen sechs weitere Gleichungen hinzugefügt werden, die den symmetrischen Spannungstensor mit Größen verknüpfen, die sich aus der Bewegung herleiten lassen.

Bevor anhand der im vorangehenden Kapitel formulierten Kriterien die Stoffgesetze allgemeinerer Stoffklassen abgeleitet werden, sollen in diesem und dem folgenden Kapitel zwei spezielle Stoffklassen analysiert werden, die sich als nicht-lineare Verallgemeinerungen der klassischen Grenzfälle der linearelastischen (hookeschen) Stoffe — Festkörper und Flüssigkeiten — und der linearviskosen (newtonschen) Flüssigkeiten darstellen lassen.

In Abschnitt 6.4.5 war eine Flüssigkeit als ein Stoff ausgewiesen worden, der keinen definierten natürlichen Zustand besitzt, sondern nur eine definierte Gleichgewichtsdichte, und in Abschnitt 7.4 war entsprechend die Stoffgleichung der rein-elastischen, d. h. zugleich reibungsfreien Flüssigkeit analysiert worden. Will man indessen die Flüssigkeitsreibung mit erfassen, so kann dies nach (6.39) nur vermittels eines relativen Dehnungstensors, z. B. G( _t )(t -s), geschehen. Ein solcher läßt sich aber unter gewissen Stetigkeitsvoraussetzungen zufolge (5.119) in eine Reihe nach kinematischen Tensoren entwickeln, wobei der lineare Term durch G₁(t) = D(t), d.h. den Verformungsgeschwindigkeitstensor, gegeben ist.

In Kapitel 6 war der Spannungstensor für einfache Stoffe als ein Funktional der gesamten Geschichte des Verformungsgradienten dargestellt worden. Eine solche Kennzeichnung ist aber zu allgemein, um mittels derart definierter Stoffgleichungen praktisch anwendbare Voraussagen treffen zu können.

In den voranstehenden Kapiteln wurden die Theologischen Stoffgesetze deduktiv behandelt, d. h. es wurde von Funktionalbeziehungen zwischen den Geschichten von Spannung und Verformung ausgegangen und diese sukzessive gewissen einschränkenden Kriterien unterworfen, vgl. Kapitel 6. Wie dort ausgeführt worden ist, waren diese entweder von sehr allgemeiner Gültigkeit - Abschnitt 6.2 und 6.3 — oder sie definierten gewisse Stoffklassen — Abschnitt 6.4. In jedem Falle lie- ferten sie aber nur Rahmenbedingungen, in die sämtliche Gesetze individueller Stoffe hineinpassen müssen, stellten aber keinerlei Zusammenhang zwischen der Struktur solcher Stoffe und ihren rheologischen Eigenschaften dar. Wie in der Einleitung schon umrissen wurde, ist diese Aufgabe an sich der Strukturrheologie vorbehalten. Zumindest im Bereich der linearen Theorie des viskoelastischen Verhaltens bietet sich aber ein induktiver Weg zur Ableitungen von Stoffgesetzen an, der — wenn auch nicht im eigentlichen Sinne Strukturtheorie — so doch bis zu einem gewissen Grade auf die Erfassung einer Mannigfaltigkeit idealer Stoffstrukturen intendiert ist, indem er deren Vielfalt durch lineare Superposition aus den einfachsten Formen des elastischen Verhaltens, d.h. des Energie speichernden Elements, und des viskosen Verhaltens, d. h. des Energie dissipierenden Elements, kombiniert.¹

Verformungs- und Strömungsprobleme stellen im allgemeinen Anfangs- und Randwertprobleme dar, für welche die dynamischen und thermodynamischen Gleichungen simultan mit dem rheologischen Stoffgesetz gelöst werden müssen. Bei isothermen Problemen dichtebeständiger unpolarer Stoffe, auf die sich die Untersuchungen der beiden folgenden Kapitel beschränken sollen, reduziert sich dies auf die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung in der vereinfachten Form (3.8), der Cauchyschen Bewegungsgleichung (3.38) und der rheologischen Stoffgleichung, in der die Drehimpulsbilanz, die Energiebilanz und die Gibbs- Duhem-Ungleichung bereits berücksichtigt worden sind.

Wie zu Anfang des voranstehenden Kapitels erläutert worden ist, erfordert die Analyse eines Strömungsproblems bei Beschränkung auf unpolare dichte- beständige Stoffe unter isothermen Bedingungen die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung, der Cauchyschen Bewegungsgleichung und der Theologischen Stoffgleichung unter den spezifischen Randbedingungen. Die dort behandelten Strömungen waren aber von einer so einfachen Struktur, daß die Kontinuitätsgleichung entweder identisch erfüllt war oder problemlos befriedigt werden konn- te und die Form des Strömungsfeldes durch die Geometrie schon so weit festgelegt war, daß höchstens die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von einem skalaren Abstandsparameter zu bestimmen blieb. Dies führte in allen dort im Detail behandelten Fällen zu geschlossenen Ausdrücken, bei denen höchstens einige Integraltransformationen iterativ gelöst werden mußten. Eine Ausnahme stellte lediglich das in Abschnitt 11.5.13 behandelte Problem der Strömung durch gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt dar. Dieses gab außer für gewisse Spezialfälle keine einfachen Lösungen mehr her, sondern hier müßten anspruchsvollere Methoden in Ansatz gebracht werden. Die Entwicklung solcher Methoden und ihre Anwendung auf ausgewählte und insbesondere auch für die Praxis interessante Strömungsprobleme bilden den Gegenstand dieses abschließenden Kapitels.