Ebene Flächentragwerke

Die Modellierung und Berechnung ebener Flächentragwerke ist ein Teilgebiet der mechanischen Strukturanalyse allgemeiner Tragwerke. Die Tragwerkselemente Scheibe und Platte können für sich allein Tragwerksfunktionen übernehmen, oder sie sind Strukturelemente allgemeiner Scheiben-PlattenKonstruktionen, die in vielen technischen Bereichen eingesetzt werden.

In Kap. 2 werden Differentialgleichungen und Randbedingungen der Scheibentheorie abgeleitet und für ausgewählte Standardbeispiele ihre Anwendung erläutert. Für die Scheibengleichungen werden ein ebener Spannungs-oder ein ebener Verzerrungszustand vorausgesetzt. Um die Ableitungen möglichst einfach zu halten, werden alle Gleichungen zunächst in kartesischen Koordinaten und für linear elastisches, homogenes und isotropes Material angegeben. Anisotrope Scheiben werden erst in Kap. 5 behandelt, da einschichtige, allgemein anisotrope oder orthotrope Scheibenmodelle dort als Sonderfall enthalten sind.

In Kap. 3 werden die Gleichungen der klassischen Plattentheorie abgeleitet. Im Unterschied zur Scheibentheorie werden jetzt nur die Belastungen einbezogen, die zu einer Krümmung und/oder Drillung der Plattenmittelfläche führen. Das sind z.B. Flächen-, Linien-oder Einzelkräfte rechtwinklig zur Plattenmittelfläche, aber auch Randmomente oder Randkräfte (Abb. 3.1). Wie für alle Flächentragwerke gilt auch für die schubstarre Platte die Dünne-Hypothese In Analogie zum Kap. 2 werden alle Gleichungen in Abschn. 3.1 zunächst in kartesischen Koordinaten angegeben. Neben den Rechteckplatten haben insbesondere Kreis-und Kreisringplatten besondere Bedeutung für die Baupraxis. Alle Gleichungen werden daher ausführlich auch in Polarkoordinaten abgeleitet. Am Beispiel schiefwinkliger Platten wird die Transformation der Plattengleichungen in nichtorthogonale Koordinaten demonstriert.

Die klassische Plattentheorie, die dem Modell der schubstarren Platte mit kleinen Durchbiegungen entspricht, hat sich für viele praktische Anwendungen bewährt, falls die Platten hinreichend dünn (z.B. h/Min(1₁, l₂) < 0.1) und die Durchbiegungen klein im Verhältnis zur Plattendicke sind (w/h< 0.2). Auch für Platten mittlerer Dicke (z.B. h/Min(l₁, l₂) < 0.2) kann, falls die Durchbiegungen auch weiterhin klein bleiben, ein zweidimensionales, lineares Plattenmodell Grundlage einer statischen oder dynamischen Strukturanalyse sein. Wie bereits aus der Balkentheorie bekannt, nimmt aber mit zunehmender Dicke h der Einfluß der Schubverformungen in Querrichtung zu. Dies ist auch der Fall, wenn, wie bei Laminat-oder Sandwichplatten (s. Kap. 5), der Plattenquerschnitt wesentlich schubweicher als bei einer Stahl-oder Betonplatte ist. Hinzu kommt ein theoretischer Aspekt, die Probleme der Formulierung korrekter Randbedingungen zu lösen, und ein numerischer Aspekt, die Ableitung sog. C⁰-stetiger finiter Plattenelemente zu vereinfachen. Es hat daher vielfältige Bemühungen gegeben, das klassische Plattenmodell zu verbessern. Der entscheidende Fortschritt wurde erst ca. 100 Jahre nach der Ableitung des Kirchhoffmodells von E. Reissner erreicht.

Kapitel 5 ist eine Einführung in die Berechnung von anisotropen Scheiben und Platten. Diese Aufgabenklasse hat auf Grund zahlreicher Anwendungen in der Luft-und Raumfahrt, im Leichtbau, im Bauingenieurwesen und anderen Bereichen an Bedeutung gewonnen. Diese Einführung in die Modellierung und Berechnung anisotroper Flächentragwerke soll die Einarbeitung in spezielle Lehrbücher zu den Laminat-und Sandwichtragwerken, für die hier stellvertretend Mälmeisters u.a. (1977), Altenbach u.a. (1996), Reddy (1997) genannt werden sollen, erleichtern. Gleichzeitig soll die Verbindung zur Theorie orthotroper Platten, z.B. Marguerre u. Wörnle (1975), geschaffen werden.

In den Kap. 3 bis 5 wurden Plattenmodelle behandelt, die ausschließlich für den Fall kleiner Verformungen gelten. In der Praxis können in bestimmten dünnwandigen Bauteilen mäßige (finite) Durchbiegungen auftreten. Wichtige Anwendungsfälle liegen z.B. bei nichtlinearem Werkstoffverhalten (zeitabhängige Kriechvorgänge, belastungsabhängige Plastizität) sowie bei Stabilitätsuntersuchungen mit Analysen der Formänderung in überkritischen Bereichen. Mit zunehmenden Durchbiegungen können geometrisch-nichtlineare Terme in den kinematischen Gleichungen nicht mehr vernachlässigt werden. Weiterhin entstehen bei finiten Durchbiegungen Membrankräfte, die zu einer Kopplung der Scheiben-und Plattenschnittgrößen führen und somit den Gleichgewichtszustand der Platte wesentlich beeinflussen. Wird dieser Einfluß vernachlässigt, liefern geometrisch-lineare Modelle (Theorien 1. Ordnung) nur eine erste Abschätzung zum Verformungs-und Spannungszustand sowie eine wesentliche Überschätzung der Durchbiegungen bzw. eine Unterschätzung der Tragfähigkeit dünnwandiger Bauteile.

In der Strukturmechanik werden Verzerrungen und Spannungen nicht nur durch Kraftwirkungen, sondern auch durch Temperaturänderungen verursacht. Für elastische Modellkörper gelten dann die allgemeinen Gleichungen der Thermoelastizität (z.B. Nowacki (1980)).

Bei der lehrbuchmäßigen Darstellung der Theorie ebener Flächentragwerke haben sich die Autoren bemüht, das klassische Wissen bezüglich der Scheiben, der Kirchhoffplatten, der Mindlinplatten und der Kármánplatten zusammenzufassen und mit Hilfe zahlreicher Beispiele für typische Scheiben-und Plattenmodelle analytische Lösungswege in Abhängigkeit von der Geometrie und der Lagerung zu diskutieren. Ferner wurden die Möglichkeiten und die Grenzen der Näherungsverfahren für das Gesamtgebiet nach Ritz, Galerkin, Wlassow und Kantorowitsch für ebene Flächentragwerke beispielhaft erläutert. Neben der Behandlung isotroper ebener Flächentragwerke bei mechanischer Beanspruchung wurden Erweiterungen auf anisotropes Materialverhalten sowie auf thermische Beanspruchungen vorgenommen, da diese Erweiterungen wegen ihrer zunehmenden Bedeutung für viele Anwendungen in der Aus-und Weiterbildung ihren Platz finden müssen. Bewußt wurden die numerischen Diskretisierungsverfahren (Finite-ElementeMethode, Finite-Differenzen-Verfahren, Randintegralmethode) aus der Betrachtung ausgeschlossen, da hierzu in den letzten Jahren zahlreiche Bücher erschienen sind, auf die zumindest teilweise im Literaturverzeichnis verwiesen wird.