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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Einführung in die Theorie linearer Differenzialgleichungen

verfasst von : Michael Riemer, Jörg Wauer, Walter Wedig

Erschienen in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Lernziele

Die Lösung linearer Differenzialgleichungen – einschließlich Anfangs- und Randbedingungen – ist die mathematische Kernaufgabe in den Ingenieurwissenschaften. Sowohl gewöhnliche Einzel-Differenzialgleichungen, Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (in Matrizenschreibweise) als auch partielle Differenzialgleichungen sind wichtig. Für das Verständnis modellhafter Einschaltfunktionen in Regelungstechnik und Systemdynamik ist heute auch eine ingenieurmäßige Einführung in die Distributionstheorie geboten. Der Nutzer lernt Erscheinungsformen kennen und ist nach Durcharbeiten dieses Kapitels mit der Behandlung homogener, aber auch inhomogener Differenzialgleichungen und der Anpassung an Anfangs- sowie Randbedingungen vertraut. Mit den Grundlagen der Distributionstheorie lernt er, auch die Sprung- und Impulsantwort dynamischer Systeme fundiert zu berechnen.

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Fußnoten
1
Dabei hat man gewisse Differenziationseigenschaften der abhängig Variablen und der inhomogenen Seite der Differenzialgleichungen vorauszusetzen.
 
2
Im Zusammenhang mit Stabilitätsproblemen wird in Abschn. 5.​2.​1 ergänzend auch auf Einzel-Differenzialgleichungen mit periodischen Koffizienten eingegangen
 
3
Diese müssen existieren und gewissen Stetigkeitsforderungen genügen.
 
4
Das Quadrat \(\omega_{0}^{2}\) berechnet sich aus dem Quotienten von Federkonstante c und Masse m .
 
5
Früher als Lehrsches Dämpfungsmaß bezeichnet.
 
6
\(\nu_{0}\) wird „gedämpfte“ Eigenkreisfrequenz genannt.
 
7
Streng genommen ist eine Amplitude nur als Vorfaktor einer harmonischen Funktion [s. beispielsweise Gl. (3.41)] erklärt.
 
8
Bei Krafterregung ist die Erregeramplitude unabhängig von der Erregerkreisfrequenz Ω. Bei der technisch wichtigeren sog. Massenkrafterregung dagegen ist diese Amplitude proportional dem Quadrat \(\Omega^{2}\) der Erregerkreisfrequenz.
 
9
Der Grenzfall \(D=\sqrt{2}/2\) heißt „Oszillografendämpfung“ und spielt bei Messgeräten eine wichtige Rolle.
 
10
Auch bei Einzel-Differenzialgleichungen höherer als zweiter Ordnung geht man i. d. R. so vor. Es ist jedoch dann stets zu prüfen, ob die freien Schwingen auch tatsächlich abklingen.
 
11
Die spektralen Dichteanteile im Amplitudenspektrum (s. Abb. 3.10 und 3.12) besitzen im Ausgangssignal für kleine k nämlich (in etwa) gleichhohe Intensität wie im Erregersignal, für große k dagegen sind sie in der stationären Schwingungsantwort gegenüber jenen der Eingangsgröße erheblich reduziert.
 
12
Eine korrekte Definition wird erst im Rahmen der Distributionstheorie in Abschn. 3.4 ermöglicht.
 
13
Das Faltungsintegral liefert als Partikulärlösung nämlich nicht die dort erhaltene stationäre Lösung, sondern die an homogene Anfangsbedingungen angepasste vollständige Lösung.
 
14
Für Distributionen (s. Abschn. 3.4) gilt eine derartige Beziehung gerade nicht mehr.
 
15
Entsprechende Differenziationseigenschaften des Integranden \(g(t-\tau)\bar{x}(\tau)\) in (3.100) sind deshalb vorauszusetzen.
 
16
Für physikalische Problemstellungen ist dieser Schritt i. d. R. erwünscht oder gar notwendig.
 
17
\(T\rightarrow\infty\) bedeutet, dass \(x(t)\) keine endliche Periode und damit auch keine „Grundfrequenz“ mehr besitzt.
 
18
Im Distributionssinne kann für diese allerdings noch Konvergenz gesichert werden.
 
19
Dieser Name steht für die Übertragungstheorie linearer Systeme bei nichtperiodischem Eingang im Frequenzbereich.
 
20
Liest man die Verschiebungsregel von rechts nach links (d. h. schließt man von der Bildfunktion auf die Originalfunktion), darf man also nicht vergessen, ausdrücklich festzulegen, dass \(x(t-t_{0})\) für \(t<t_{0}\) den Wert null haben soll.
 
21
Bekanntlich besteht dieses darin, die allgemeine homogene Lösung und eine Partikulärlösung nacheinander zu bestimmen und beide zu überlagern.
 
22
Die quadratische Matrix \(\mathbf{M}\) ist damit auch regulär und besitzt vollen Rang. Entartete mechanische Systeme, für die einzelne Bewegungsgleichungen gar nicht zweiter Ordnung sind, z. B. wenn in den betreffenden Zeilen i von \(\mathbf{M}\) die Werte \(m_{i1},m_{i2},\ldots,m_{in}\) allesamt verschwinden, sind damit ausgeschlossen.
 
23
Wie schon in Abschn. 1.​1.​4 und 1.2.1 sei auch hier nochmals auf die übliche Bezeichnung von Spaltenmatrizen als „Vektoren“ hingewiesen.
 
24
Auch für Systeme zweiter Ordnung [s. Gl. (3.191) und (3.194)] ist eine derartige Zerlegung denkbar.
 
25
Hier ist der Name erst wirklich berechtigt, weil jetzt \(\mathbf{x}\) tatsächlich den Zustand des Systems vollständig repräsentiert.
 
26
Manche Autoren bezeichnen sie auch als Hauptschwingungen.
 
27
Dabei ist in Klammern die Übertragungsgleichung (3.305) im Original-, d. h. im Zeitbereich wiedergegeben, die im Sinne von Gl. (3.316) auch für eine Zustandsdarstellung gültig ist.
 
28
Wegen fehlender Massenmatrix \(\mathbf{M}(j)\) geht man im Rahmen der Bequemlichkeitshypothese konsequenterweise davon aus, dass \(\mathcal{D}(j)\) allein \({\cal K}(j)\) proportional ist.
 
29
Für eine lokal (Lebesque-)integrable Funktion \(f(t)\) gilt \(\int_{(I)}|f(t)|dt<\infty\) für beliebige endliche Intervalle I. Deswegen ist z. B. \(f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\) lokal integrabel, nicht aber \(f(t)=\frac{1}{t}\).
 
30
Allerdings heißt das keineswegs, dass jede nicht-lokal integrable Funktion „automatisch“ eine singuläre Distribution ist. Nicht-lokal integrable Funktionen (wie etwa \(t^{-1},\;t^{-2}\), etc.) erzeugen zunächst einmal überhaupt keine Distribution, da das zugehörige Funktional (3.389 ) divergiert. Deshalb können solche Funktionen nur als Pseudo-Funktionen, also in modifizierter Form mittels sog. Pseudo-Funktionsdistributionen in die Distributionstheorie eingebettet werden. Aber da die Distributionstheorie hauptsächlich wegen der Dirac-Funktion und dazu verwandter Funktionen „erfunden“ wurde, spielen solche nicht-lokal integrablen Funktionen in der Distributionstheorie keine wesentliche Rolle.
 
31
Darunter versteht man in ingenieurmäßiger Formulierung üblicherweise die Kurzform \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_{0})a(t)dt=a(t_{0})\). Diese Kurzform ist zwar als Gleichung gar nicht existent, führt aber bei Anwendungen zu denselben Ergebnissen wie die Beziehungen der Distributionstheorie – in diesem Sinne kann sie als „Merkregel“ angesehen werden.
 
32
Temperierte Distributionen sind Distributionen von langsamem Wachstum.
 
33
Diese Reziprozitätsrelation sagt aus, dass zeitlich konzentrierte Signale (Idealfall: Dirac-Funktion δ) ein breites Frequenzspektrum [Idealfall: \(\mathcal{F}\{\delta\}=1\) , s. Gl. ( 3.429 )] besitzen und umgekehrt [s. Gl. ( 3.432 )].
 
34
Hier muss \(\varphi(p)\) in der Tat als komplexe Testfunktion eingeführt werden.
 
35
Deshalb besitzt ja auch die ingenieurmäßige Vorstellung von einer δ-Funktion als „unendlich schmalem und unendlich hohem Impuls“ einen beachtlichen heuristischen Wert.
 
36
Damit ist wieder bestätigt, dass die Dirac-Funktion δ als singuläre Distribution ein sinnvolles mathematisches Modell für bestimmte „impulsartige“ Vorgänge darstellt.
 
Literatur
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Metadaten
Titel
Einführung in die Theorie linearer Differenzialgleichungen
verfasst von
Michael Riemer
Jörg Wauer
Walter Wedig
Copyright-Jahr
2015
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-07535-4_3