nach oben

Erschienen in:

2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Variationsrechnung und analytische Mechanik

verfasst von : Michael Riemer, Jörg Wauer, Walter Wedig

Erschienen in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Lernziele

Das vorliegende Kapitel präsentiert eine Einführung in die Variationsrechnung mit der Betrachtung von Extremalaufgaben, den Eulerschen Gleichungen sowie der Einarbeitung von Nebenbedingungen und die wesentlichen Anwendungen in der analytischen Mechanik mit den Begriffen virtuelle Verrückung, (virtuelle) Arbeit sowie Potenzial, dem Prinzip der virtuellen Arbeit sowie dem Prinzip von Hamilton. Zur Herleitung von Anfangs-Randwert-Problemen schwingender Kontinua, aber auch zum Verständnis für später etablierte ausgewählte Näherungsverfahren sind diese mathematischen Grundlagen ganz wesentlich. Der Leser ist nach Durcharbeiten dieses Kapitels in der Lage, Extremaleigenschaften von Funktionalen zu verstehen und für die Auswertung skalarer Variationsprinzipe als grundlegende Postulate der Technischen Mechanik und darüber hinaus zu nutzen.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel Einführung in die Theorie linearer Differenzialgleichungen

Nächstes Kapitel Grundbegriffe der Stabilitätstheorie

Diese Extrema sind Gegenstand der sog. Linearen bzw. Nichtlinearen Programmierung, nicht aber der klassischen Variationsrechnung.

Der Zeitparameter steht exemplarisch für eine beliebige unabhängig Veränderliche des jeweiligen Problems, z. B. auch für eine Ortskoordinate x in einem rein statischen Problem.

Gl. (4.10) gilt stets für alle unabhängig Veränderlichen. Bei Problemen mit mehreren unabhängig Veränderlichen, z. B. einer Ortskoordinate x und der Zeit t, ist während der Variation sowohl der Ort x als auch die Zeit t festzuhalten; zusätzlich zu (4.10) gilt dann auch $\delta x=0$.

Eine Variation der Form (4.15) wird in der Funktionalanalysis als Fréchet-Differenzial bezeichnet.

Dass die Extremale $q(t)$ tatsächlich das Funktional ( 4.33 ) minimiert, kann in diesem Fall einfach über die (hinreichende) Legendresche Bedingung

$$\frac{\partial^{2}L}{(\partial\dot{q})^{2}}> 0$$

verifiziert werden (s. z. B. [1]). Man erhält hier

$$\frac{\partial^{2}L}{(\partial\dot{q})^{2}}=\frac{\partial^{2}}{(\partial\dot{q})^{2}}\left[{1\over{2}}{\dot{q}}^{2}-q^{2}\right]=\frac{\partial}{\partial\dot{q}}[\dot{q}]=1> 0$$

für alle Zeiten t ; das ist hinreichend für ein Minimum.

Ursprünglich waren „generalisierte“ Koordinaten nur verallgemeinerte Koordinaten in dem Sinne, dass auch nicht-kartesische Koordinaten (also beliebige Lage- und Winkelkoordinaten) zugelassen waren. Diese Unterscheidung ist heute nicht mehr von Bedeutung. Da aber im Zusammenhang mit derart verallgemeinerten n Koordinaten fast ausschließlich nur Systeme mit n „echten“ Freiheitsgraden untersucht wurden, ist es sinnvoll, fortan den Begriff generalisierte Koordinaten nur noch für beliebige, voneinander unabhängige Koordinaten zu verwenden.

Die n Bewegungsgleichungen (4.38) hängen i. Allg. voneinander ab (sie bewirken eine dynamische Kopplung der generalisierten Koordinaten q _i) – nicht abhängig sind aber die n generalisierten Koordinaten q _i selbst (es existiert keine kinematische Kopplung).

Im Gegensatz zu nichtholonomen Bindungen, deren Bindungsgleichungen stets Koordinatenableitungen enthalten.

Allgemeine räumliche Drehungen haben die bekannte Eigenschaft, dass Zeitableitungen der Drehwinkel (z. B. $\dot{\varphi}^{1},\dot{\varphi}^{2},\dot{\varphi}^{3}$) i. Allg. nicht mit den Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit (z. B. $\omega^{1},\omega^{2},\omega^{3}$) übereinstimmen. Deshalb sind auch die Variationen der Drehwinkel (z. B. $\delta\varphi^{1},\delta\varphi^{2},\delta\varphi^{3}$) nicht die Koordinaten des virtuellen Drehvektors $\vec{\varphi}_{\text{virt}}$ (also gilt dann z. B. $\varphi_{\text{virt}}^{2}\neq\delta\varphi^{2}$).

Genau deshalb ist es zweckmäßig, die virtuelle Arbeit allgemeiner Kräfte oder Momente nicht mit $\delta W$, sondern mit $W_{\text{virt}}$ zu bezeichnen.

Lässt man diese Annahme fallen und berücksichtigt zudem die Drehträgheit der Stabquerschnitte, so gelangt man zum Stabmodell nach Timoshenko (s. Beispiel 3.27).

Die auftretenden Ortsableitungen sind jedoch dann im Gesamtzusammenhang partielle Ableitungen, so dass verabredungsgemäß (s. Kap. 3) beispielsweise an Stelle von $u^{\prime}$ nunmehr $u_{,x}$ zu schreiben ist.

Die zweite Cauchy-Gleichung – der Drehimpulssatz für ein Kontinuum – reduziert sich in der Mechanik der Punktkontinua (jeder materielle Punkt hat nur drei Translations-, aber keine Rotationsfreiheitsgrade) auf die Forderung nach einem symmetrischen Spannungstensor (s. ebenfalls Abschn. 2.4.3 ); diese Forderung ist in der Elastomechanik durch das verallgemeinerte Hookesche Gesetz ( 4.106 ) [bzw. ( 2.157 )] als Stoffgesetz stets identisch erfüllt.

Im Rahmen einer vollständig linearen Theorie, wie sie ausführlich auch in Abschn. 2.3.3 und 2.4.3 angesprochen wird, fallen Cauchyscher Spannungstensor (der eigentlich einer räumlichen Feldbeschreibung zugehört) und Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor 2. Art zusammen.

Für viskoelastische und plastische Körper beispielsweise ist ab hier eine modifizierte Vorgehensweise erforderlich.

Im Rahmen einer (geometrisch) linearen Theorie reduziert sich der Lagrangesche Verzerrungstensor in Gl. (4.105 ) auf den infinitesimalen Greenschen Verzerrungstensor gemäß Gl. (2.159).

Präzisierend gegenüber Gl. (2.157) ff. in Kap. 2 wird ein Körper homogen genannt, wenn seine Materialeigenschaften nicht von der Lagrange-Koordinate x ^k, d. h. in der Referenzplatzierung nicht vom Ort abhängen. Er ist (in Übereinstimmung mit der damaligen Formulierung) elastisch isotrop, wenn seine elastischen Eigenschaften richtungsunabhängig sind.

Sowohl historisch als auch axiomatisch sollten beide Prinzipe unterschieden werden, insbesondere im Rahmen der Kontinuumsmechanik.

In der Mechanik elastischer Körper sind meist nur materielle Koordinaten (Lagrange-Koordinaten) x ^k zweckmäßige Koordinaten. Deshalb müssen im Rahmen der Elastodynamik die totalen $\dot{(\;)}$ und die partiellen Zeitableitungen $(\;)_{,t}$ von Funktionen mit der Argumentliste $(x^{k},t)$ nicht unterschieden werden. Infolge ( 4.121 ) sind beides materielle Zeitableitungen. Anders ist es in der Strömungsmechanik; dort rechnet man in Euler-Koordinaten, dann haben die totale und die partielle Zeitableitung verschiedene physikalische Bedeutung.

Insbesondere im Rahmen der Strömungslehre, d. h. bei der Rechnung in Euler-Koordinaten, werden nur räumliche Formulierungen des Reynoldsschen Transporttheorems verwendet; diese sind komplizierter als die doch einfachen Vertauschungsrelationen (4.124).

Bei Näherungsrechnungen kann es vorkommen, dass durch die gewählten Ansatzfunktionen die „Zeitrandbedingung“ (4.132) nicht mehr erfüllt ist; dann muss anstelle von (4.133) die allgemeinere Formulierung (4.131) des Prinzips von Hamilton verwendet werden. Einfachstes Beispiel dafür ist sicherlich die Berechnung einer genäherten Eigenkreisfrequenz $\bar{\omega}_{0}$ eines Oszillators mit dem Lösungsansatz $x(t)=X_{0}\cos\bar{\omega}_{0}t$. Nur über das Prinzip (4.131) berechnet man die korrekte (in diesem Fall sogar strenge) Lösung $\bar{\omega}_{0}=\omega_{0}$; Ursache für das Versagen von Gl. (4.133) ist die Verletzung der „Zeitrandbedingung“ (4.132) wegen $\delta x=\delta X_{0}\cos{\bar{\omega}_{0}}t\enspace\rightarrow\enspace\delta x\neq 0$ für $t=t_{1},t_{2}$ (in Worten: Hier gilt $\delta x\neq 0$ für allgemeine Zeiten $t_{1},t_{2}$.)

Die Distributionsformulierung lautet für das hier untersuchte Beispiel einfach

$$EAu_{,xx}-\mu u_{,tt}=F(t)\delta(x-\ell),\quad u(x=0,t)=0,\quad u_{,x}(\ell,t)=0\;.$$

Die Ableitungen von u nach x sind dann allerdings im Distributionssinne, d. h. als Derivierte (hier im Ort) aufzufassen. Dann ist jede Lösung des mechanischen Problems (4.159)–(4.161) auch eine Lösung des Randwertproblems in Distributionsformulierung.

Elsgolc, L.E.: Variationsrechnung. Bibl. Inst., Mannheim/Wien/Zürich (1970)

Frank, P., v. Mises, R.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik. Teil II, 2. Aufl. Vieweg, Braunschweig (1961)

Funk, P.: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1962)

Green, A.E., Zerna, W.: Theoretical Elasticity, 2nd Ed. Clarendon Press, Oxford (1968)

Hamel, G.: Theoretische Mechanik. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1967)

Klingbeil, E.: Variationsrechnung. B.I.-Wiss.-Verlag, Mannheim/Wien/Zürich (1977)

Klötzler, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung. Birkhäuser, Basel/Stuttgart (1970)

Langhaar, H.L.: Energy Methods in Applied Mechanics. Wiley & Sons, New York (1962)

Lanzcos, C.: The Variational Principles of Mechanics. University of Toronto Press, Toronto (1962)

10.

Lehmann, T.: Elemente der Mechanik IV. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (1979)

11.

Leipholz, H.: Die direkte Methode der Variationsrechnung und Eigenwertprobleme der Technik. G. Braun, Karlsruhe (1975)

12.

Michlin, S.G.: Variationsmethoden der mathematischen Physik. Akademie-Verlag, Berlin (1962)

13.

Miller, M.: Variationsrechnung. Teubner, Leipzig (1959)

14.

Päsler, M.: Mechanik deformierbarer Körper. Walter de Gruyter & Co., Berlin (1960)

15.

Riemer, M.: Technische Kontinuumsmechanik. B.I.-Wiss.-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich (1993)

16.

Reinhardt, F., Soeder, H. dtv-Atlas zur Mathematik. Bd. 2, 5. Aufl. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München (1984)

17.

Truesdell, C.A., Toupin, R.A.: The Classical Field Theories. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1960)

18.

Truesdell, C.: The Elements of Continuum Mechanics. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1965)

19.

Velte, W.: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Teubner, Stuttgart (1976)

Titel: Variationsrechnung und analytische Mechanik
verfasst von: Michael Riemer
Jörg Wauer
Walter Wedig
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik
Print ISBN: 978-3-658-07534-7

Electronic ISBN: 978-3-658-07535-4

Copyright-Jahr: 2015
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-07535-4_4

Springer Professional

Lernziele

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"