Lernziele
Die physikalische Realisierbarkeit der Lösungen von Differenzialgleichungen ist heute in den Ingenieurwissenschaften oft von zentraler Bedeutung. Sie wird durch Methoden der Stabilitätstheorie entschieden. Dabei kommt der kinetischen Stabilitätstheorie mit der ersten und der direkten Methode von Ljapunow die Hauptbedeutung zu, Stabilitätsmethoden der Elastostatik mit der Gleichgewichts- und der Energiemethode haben jedoch durchaus eigenständiges Gewicht, so dass beide Gebiete gelehrt und verstanden werden sollten. Der Nutzer lernt, wann und wie er die Stabilitätsmethoden der Elastostatik verwenden kann und in welchen Fällen er den Stabilitätsnachweis im Rahmen der kinetischen Stabilitätstheorie zu führen hat und welche mathematischen Schritte dann relevant sind.
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Notes
- 1.
Die Überlegungen lassen sich natürlich auch auf entsprechende Probleme der Elektrostatik oder Hydrostatik anwenden.
- 2.
Für das diskretisierte Ersatzmodell des Eulerschen Knickstabes gemäß Abb. 5.1a gilt entsprechend
$$V_{\Delta}=\frac{c_{L}}{2}\Delta x^{2}+\frac{c_{B}}{2}\Delta y^{2}-\frac{F}{2\ell}\Delta y^{2}\;.$$ - 3.
Historisch genauer (s. z. B. [16, 8]) ist es wohl, diese Formulierung als Satz von Dirichlet zu bezeichnen; der sog. Satz von Lagrange ist die damit in Zusammenhang stehende Aussage, dass das Gesamtpotenzial V statisch konservativer Systeme in der Nachbarschaft einer Gleichgewichtslage \(\mathbf{x}_{0}\) eine positiv definite quadratische Funktion ist.
- 4.
In der Regelungstechnik spricht man von grenzstabil.
- 5.
- 6.
Eine ingenieurmäßig aufbereitete kinetische Stabilitätstheorie verteilter Systeme, die diese Schwierigkeiten behebt, ist (am Beispiel 1-parametriger Kontinua) von Kelkel [10] entwickelt worden.
- 7.
Oft werden diese auch Variationsgleichungen genannt.
- 8.
Dabei wird hier allein der Fall sog. isolierter Gleichgewichtslagen betrachtet, für die \(\det\,\mathbf{A}\neq 0\) gilt.
- 9.
- 10.
Ein Polynom N -ten Grades lässt sich stets in der Gestalt ( 5.39 ) schreiben.
- 11.
- 12.
Auf mehrfache Wurzeln von (5.63) wird hier nicht eingegangen.
- 13.
Obwohl richtungstreu, ist die zeitabhängige Kraft \(F(t)\) nicht mehr konservativ, weil der Energiesatz i. Allg. nicht mehr gilt. Trotzdem kann sie wie im konservativ statischen Fall aus einem skalaren Potenzial hergeleitet werden. Verallgemeinernd nennt man derartige Kräfte monogenetisch.
- 14.
Für einfache stationäre Punkte sind alle Elemente a ik der Systemmatrix \(\mathbf{A}\) der zugehörigen linearisierten Störungsgleichungen von null verschieden.
- 15.
Im Falle nichtlinearer Störungsgleichungen liegt damit jedoch der kritische Fall vor, der ja bekanntlich nicht im Rahmen der linearisierten Störungsgleichungen entschieden werden kann. Besonders von Interesse ist natürlich gerade das Studium solcher sog. entarteten Singularitäten, zu denen beispielsweise auch nicht-einfache stationäre Punkte gehören (vor allem im mehrdimensionalen Fall).
- 16.
- 17.
Nichtautonome Störungsgleichungen erfordern geringfügige Verallgemeinerungen sowohl bei den Definitheitseigenschaften als auch bei den darauf basierenden Stabilitätssätzen, wobei dann insbesondere der Begriff einer gleichmäßig kleinen Funktion eine Rolle spielt.
- 18.
Meist gelingt es eben nur, (positiv definite) Funktionen V anzugeben, deren Ableitung in der Umgebung von \(\Delta\mathbf{x=0}\) weder definit noch semidefinit ist.
- 19.
Dieser Instabilitätssatz von Ljapunow kann nach Tschetajew dahingehend verallgemeinert werden, dass die Grundbewegung \(\mathbf{x}_{0}\) auch dann instabil ist, wenn \(\dot{V}\) in der Umgebung \(\Delta\mathbf{x=0}\) negativ definit ist und V für beliebig kleine \(\Delta\mathbf{x}\) negative, beschränkte Werte annehmen kann.
- 20.
Bei dem angenommenen Steifigkeitsverhältnis \(\frac{c_{d}}{c\ell^{2}}=1\) ist offensichtlich f 1 der kleinste Eigenwert. Dieser bestimmt die maßgebende Knicklast; damit kennzeichnet der zugehörige Eigenvektor \((1,1,1)^{\mathrm{T}}\) auch die auftretende Knickfigur.
- 21.
Zieht man auch noch die Bedingungen (5.42) zu Rate, stellt man fest, dass sowohl (\(r_{01},\varphi_{01}\)) als auch (\(r_{02},\varphi_{02}\)) asymptotisch stabil sind.
- 22.
Auf das i. d. R. nicht interessierende Anwachsen des zugehörigen Drehwinkels bei sämtlichen diskutierten stationären Lösungen sei hingewiesen.
References
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Riemer, M., Wauer, J., Wedig, W. (2015). Grundbegriffe der Stabilitätstheorie. In: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-07535-4_5
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