Analysis 1

Frontmatter

§ 1. Vollständige Induktion

Zusammenfassung

Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Es kann häufig bei Problemen folgender Art angewandt werden: Es soll eine Aussage A(n) bewiesen werden, die von einer natürlichen Zahl n ≥ 1 abhängt. Dies sind in Wirklichkeit unendlich viele Aussagen A(1),A(2),A(3), . . ., die nicht alle einzeln bewiesen werden können. Hier hilft vollständige Induktion, die unter geeigneten Umständen erlaubt, in endlich vielen Schritten unendlich viele Aussagen zu beweisen.

Otto Forster

§ 2. Die Körper-Axiome

Zusammenfassung

Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften und Gesetze der reellen Zahlen ableiten lassen.

In diesem Paragraphen behandeln wir die sogenannten Körper-Axiome, aus denen die Rechenregeln für die vier Grundrechnungsarten folgen. Da diese Rechenregeln sämtlich aus dem Schulunterricht geläufig sind, und dem Anfänger erfahrungsgemäß Beweise selbstverständlich erscheinender Aussagen Schwierigkeiten machen, kann dieser Paragraph bei der ersten Lektüre übergangen werden.

Otto Forster

§ 3. Die Anordnungs-Axiome

Zusammenfassung

In der Analysis ist das Rechnen mit Ungleichungen ebenso wichtig wie das Rechnen mit Gleichungen. Das Rechnen mit Ungleichungen beruht auf den Anordnungs-Axiomen. Es stellt sich heraus, dass alles auf den Begriff des positiven Elements zurückgeführt werden kann.

Otto Forster

§ 4. Folgen, Grenzwerte

Zusammenfassung

Wir kommen jetzt zu einem der zentralen Begriffe der Analysis, dem des Grenzwerts einer Folge. Seine Bedeutung beruht darauf, dass viele Größen nicht durch einen in endlich vielen Schritten exakt berechenbaren Ausdruck gegeben, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden können. Eine Zahl mit beliebiger Genauigkeit approximieren heißt, sie als Grenzwert einer Folge darstellen. Dies werden wir jetzt präzisieren.

Otto Forster

§ 5. Das Vollständigkeits-Axiom

Zusammenfassung

Mithilfe der bisher behandelten Axiome lässt sich nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn all diese Axiome gelten auch im Körper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wussten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also lässt sich mit den bisherigen Axiomen nicht beweisen, dass eine Quadratwurzel aus 2 existiert. Es ist ein weiteres Axiom nötig, das sogenannte Vollständigkeits-Axiom. Aus diesem folgt unter anderem, dass jeder unendliche Dezimalbruch (ob periodisch oder nicht) gegen eine reelle Zahl konvergiert.

Otto Forster

§ 6. Wurzeln

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beweisen wir als Anwendung des Vollständigkeits-Axioms die Existenz der Wurzeln positiver reeller Zahlen und geben gleichzeitig ein Iterationsverfahren zu ihrer Berechnung an. Dieses Verfahren, mit dem schon die Babylonier ihre Näherungswerte für die Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen bestimmt haben sollen, konvergiert außerordentlich rasch und zählt auch noch heute im Computer- Zeitalter zu den effizientesten Algorithmen.

Otto Forster

§ 7. Konvergenz-Kriterien für Reihen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beweisen wir die wichtigsten Konvergenz-Kriterien für unendliche Reihen und behandeln einige typische Beispiele.

Wendet man das Vollständigkeits-Axiom über die Konvergenz von Cauchy- Folgen auf Reihen an, so erhält man folgendes Kriterium.

Otto Forster

§ 8. Die Exponentialreihe

Zusammenfassung

Wir behandeln jetzt die Exponentialreihe, die neben der geometrischen Reihe die wichtigste Reihe in der Analysis ist. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion beweisen wir mithilfe eines allgemeinen Satzes über das sog. Cauchy-Produkt von Reihen.

Otto Forster

§ 9. Punktmengen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen behandeln wir die Begriffe Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit und beweisen insbesondere, dass die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Weiter beschäftigen wir uns mit dem Supremum und Infimum von Mengen reeller Zahlen und definieren den Limes superior und Limes inferior von Folgen.

Otto Forster

§ 10. Funktionen. Stetigkeit

Zusammenfassung

Wir kommen jetzt zu einem weiteren zentralen Begriff der Analysis, dem der stetigen Funktion. Wir zeigen, dass Summe, Produkt und Quotient (mit nichtverschwindendem Nenner) stetiger Funktionen sowie die Komposition stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Otto Forster

§ 11. Sätze über stetige Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beweisen wir die wichtigsten allgemeinen Sätze über stetige Funktionen in abgeschlossenen und beschränkten Intervallen, nämlich den Zwischenwertsatz, den Satz über die Annahme von Maximum und Minimum und die gleichmäßige Stetigkeit.

Otto Forster

§ 12. Logarithmus und allgemeine Potenz

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beweisen wir zunächst einen allgemeinen Satz über Umkehrfunktionen, den wir dann anwenden, um dieWurzeln und den Logarithmus zu definieren. Mithilfe des Logarithmus und der Exponentialfunktion wird dann die allgemeine Potenz a ^x mit beliebiger positiver Basis a und reellem Exponenten x definiert.

Otto Forster

§ 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen

Zusammenfassung

Wir wollen im nächsten Paragraphen die trigonometrischen Funktionen vermöge der Eulerschen Formel e ^ix = cos x+i sin x einführen. Zu diesem Zweck brauchen wir die Exponentialfunktion für komplexe Argumente. Sie ist wie im Reellen durch die Exponentialreihe definiert. Dazu müssen wir einige Sätze über die Konvergenz von Folgen und Reihen ins Komplexe übertragen, was eine gute Gelegenheit zur Wiederholung dieser Begriffe gibt.

Otto Forster

§ 14. Trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung

Wie bereits angekündigt, führen wir nun die trigonometrischen Funktionen mithilfe der Eulerschen Formel e ^ix = cos x+i sin x ein. Ihre wichtigsten Eigenschaften, wie Reihenentwicklung, Additionstheoreme und Periodizität ergeben sich daraus in einfacher Weise. Außerdem behandeln wir in diesem Paragraphen die Arcus-Funktionen, die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

Otto Forster

§ 15. Differentiation

Zusammenfassung

Wir definieren jetzt den Differentialquotienten (oder die Ableitung) einer Funktion als Limes der Differenzenquotienten und beweisen die wichtigsten Rechenregeln für die Ableitung, wie Produkt-, Quotienten- und Ketten-Regel sowie die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion. Damit ist es dann ein leichtes, die Ableitungen aller bisher besprochenen Funktionen zu berechnen.

Otto Forster

§ 16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität

Zusammenfassung

Wir kommen jetzt zu den ersten Anwendungen der Differentiation. Viele Eigenschaften einer Funktion spiegeln sich nämlich in ihrer Ableitung wider. So kann das Auftreten von lokalen Extrema, die Monotonie und die Konvexität mithilfe der Ableitung untersucht werden. Aus Schranken für die Ableitung erhält man Abschätzungen für das Wachstum der Funktion.

Otto Forster

§ 17. Numerische Lösung von Gleichungen

Zusammenfassung

Wir beschäftigen uns jetzt mit der Lösung von Gleichungen ƒ (x) = 0, wobei ƒ eine auf einem Intervall vorgegebene Funktion ist. Nicht immer kann man die Lösungen, wie dies etwa bei quadratischen Polynomen der Fall ist, durch einen expliziten Ausdruck angeben. Es sind Näherungsmethoden notwendig, bei denen die Lösungen als Grenzwerte von Folgen dargestellt werden, deren einzelne Glieder berechnet werden können. Für die Brauchbarkeit eines Näherungsverfahrens ist es wichtig, Fehlerabschätzungen zu haben, damit man weiß, wann man bei vorgegebener Fehlerschranke das Verfahren abbrechen darf.

Otto Forster

§ 18. Das Riemannsche Integral

Zusammenfassung

Die Integration ist neben der Differentiation die wichtigste Anwendung des Grenzwertbegriffs in der Analysis. Wir definieren das Integral zunächst für Treppenfunktionen, wobei noch keine Grenzwertbetrachtungen nötig sind und der elementargeometrische Flächeninhalt von Rechtecken zugrundeliegt. Das Integral allgemeinerer Funktionen wird dann durch Approximation mittels Treppenfunktionen definiert.

Otto Forster

§ 19. Integration und Differentiation

Zusammenfassung

Während wir im vorigen Paragraphen das Integral in Anlehnung an seine anschauliche Bedeutung als Flächeninhalt definiert haben, zeigen wir hier, dass die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, was in vielen Fällen die Möglichkeit zur Berechnung des Integrals liefert.

Für den ganzen Paragraphen sei I ⊂ ⊂ ein aus mindestens zwei Punkten bestehenden offenes, halboffenes oder abgeschlossenes endliches oder unendliches Intervall.

Otto Forster

§ 20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion

Zusammenfassung

Der bisher behandelte Integralbegriff ist für manche Anwendungen zu eng. So konnten wir bisher nur über endliche Intervalle integrieren und die Riemann-integrierbaren Funktionen waren notwendig beschränkt. Ist das Integrationsintervall unendlich oder die zu integrierende Funktion nicht beschränkt, so kommt man zu den uneigentlichen Integralen, die unter gewissen Bedingungen als Grenzwerte Riemannscher Integrale definiert werden können. Als Anwendung behandeln wir die Gamma-Funktion, die durch ein uneigentliches Integral definiert ist und die die Fakultät interpoliert.

Otto Forster

§ 21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Zusammenfassung

Der Begriff der Konvergenz einer Folge von Funktionen (ƒ _n ) gegen eine Funktion ƒ, die alle denselben Definitionsbereich D haben, kann einfach auf den Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt werden: Man verlangt, dass an jeder Stelle x ∈ D die Zahlenfolge ƒ _n (x), für n→ ∞ gegen ƒ (x) konvergiert. Wenn man Aussagen über die Funktion ƒ aufgrund der Eigenschaften der Funktionen ƒ _n beweisen will, reicht jedoch meistens diese so genannte punktweise Konvergenz nicht aus. Man braucht zusätzlich, dass die Konvergenz gleichmäßig ist, das heißt grob gesprochen, dass die Konvergenz der Folge ( ƒ _n (x)) gegen ƒ (x) für alle x ∈ D gleich schnell ist. Beispielsweise gilt bei gleichmäßiger Konvergenz, dass die Grenzfunktion ƒ wieder stetig ist, falls alle ƒ _n stetig sind. Die gleichmäßige Konvergenz spielt auch bei der Frage eine Rolle, wann Differentiation und Integration von Funktionen mit der Limesbildung vertauschbar sind. Besonders wichtige Beispiele für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen liefern die Partialsummen von Potenzreihen.

Otto Forster

§ 22. Taylor-Reihen

Zusammenfassung

Wir haben schon die Darstellung verschiedener Funktionen, wie Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus, durch Potenzreihen kennengelernt. In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns systematisch mit der Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen.

Otto Forster

§ 23. Fourier-Reihen

Zusammenfassung

In diesem letzten Paragraphen behandeln wir die wichtigsten Tatsachen aus der Theorie der Fourier-Reihen. Es handelt sich dabei um die Entwicklung von periodischen Funktionen nach dem Funktionensystem coskx, sinkx, (k ∈ ∈). Im Unterschied zu den Taylor-Reihen, die im Innern ihres Konvergenzbereichs immer gegen eine unendlich oft differenzierbare Funktion konvergieren, können durch Fourier-Reihen z.B. auch periodische Funktionen dargestellt werden, die nur stückweise stetig differenzierbar sind und deren Ableitungen Sprungstellen haben.

Otto Forster

Backmatter