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2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Ableitungen von Funktionen

verfasst von : Stefanie Flotho

Erschienen in: Wirtschaftsmathematik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Funktionen können mit Hilfe von Graphen dargestellt werden. Diese Kurven im (xy)-Koordinatensystem ändern sich in Richtung der y-Achse, wenn wir die Variable x variieren, d. h. die Kurven haben eine Steigung. Im einfachen Fall von linearen Funktionen ist wie in Kap. 2 gesehen die Steigung immer konstant und einfach zu bestimmen. Doch je nach Wahl von x kann eine Funktion unterschiedliche Steigungen haben. Wie kann man diese berechnen? Im ersten Teil des Kapitels werden wir einfache Regeln zur Berechnung der Steigung kennenlernen. Dabei werden Potenzfunktionen (Abschn. 5.1), Produkte und Quotienten von Funktionen (Abschn. 5.2 und 5.3) differenziert. Die Kettenregel wird eingeübt (Abschn. 5.4). Des weiteren werden Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion (Abschn. 5.5) und die Logarithmusfunktion (Abschn. 5.6) für die einfachen, aber auch für verkettete Funktionen analysiert. Was Ableitungen höherer Ordnung sind, wird in Abschn. 5.7 erklärt. Im letzten Abschn. 5.8 werden wir darauf eingehen, wie die Steigung konkret definiert ist und analysieren, wie man die zughörigen Regeln herleiten kann. Wer nur an den Regeln interessiert ist, wählt den ersten Teil als Schwerpunkt. Wer sich dafür interessiert, wieso die Regeln so sind wie sie sind, kann auch den letzten Abschnitt durcharbeiten.

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Fußnoten
1
Man nennt den Faktor 2 so, da die Konstante 2 mit der Funktion multipliziert wird.
 
2
Natürlich kann man die Ableitung berechnen, indem man die Klammer ausmultipliziert und dann mit Regel (5.1) die einzelnen Summanden ableitet. Doch dies ist häufig sehr zeitintensiv und fehleranfällig; zudem kann man häufig gar nicht ausmultiplizieren.
 
3
Zur Erinnerung: wenn man für x einen konkreten Wert einsetzt, z. B. x = 5, dann rechnet man zunächst 4 ⋅ 52 − 7 ⋅ 5 = 65 (innere Funktion) und nimmt anschließend den Logarithmus des Ergebnisses (äußere Funktion).
 
4
Δx wie im zweiten Beispiel Null zu setzen geht in diesem Beispiel nicht, da der Nenner nicht Null werden darf. Man kann mit dem Taschenrechner ein paar Werte nahe Null in den Bruch einsetzen und stellt fest, dass man sich der Eins annähert. Dies ist zwar kein formaler Beweis, für unsere Zwecke aber ausreichend. Die exakte Berechnung dieses Grenzwertes bedarf mehr Methoden.
 
Metadaten
Titel
Ableitungen von Funktionen
verfasst von
Stefanie Flotho
Copyright-Jahr
2021
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-33517-5_5