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1992 | Buch | 3. Auflage

Rechnen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Numerische Mathematik

verfasst von: Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Professional Book Archive

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Über dieses Buch

Dieser Band Numerische Mathematik hat Prinzipien des numerischen Rechnens, numerische lineare Algebra und Näherungsmethoden in der Analysis zum Inhalt. Der Begriff der Approximation zieht sich als roter Faden durch den gesamten Text. Die Betonung liegt dabei weniger auf der Bereitstellung möglichst vieler Algorithmen als vielmehr auf der Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen. Jedoch werden auch der algorithmische Aspekt und entsprechende Effizienzbetrachtungen gebührend berücksichtigt. An vielen Stellen wie etwa bei den Untersuchungen zur Komplexität von Algorithmen, bei der Behandlung schlecht konditionierter Probleme, in dem Abschnitt über Splines oder auch bei der numerischen Kubatur geht der dargebotene Stoff über den Inhalt einer einsemestrigen Vorlesung zur numerischen Mathematik hinaus, so daß man beim Gebrauch des Buches für eine solche Vorlesung eine Auswahl treffen wird. Zahlreiche historische Anmerkungen sowie Querverbindungen und motivierende Erklärungen runden dieses Buch ab. Wer glaubt, daß die "Numerische Mathematik" nur aus einer Ansammlung von Algorithmen zur Lösung von Problemen besteht, der hat dieses Buch noch nicht in der Hand gehabt. Die Autoren haben die Betonung auf die Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen gelegt, ohne dabei den algorithmischen Aspekt und die entsprechende Effizienzsteigerung zu vernachlässigen. Zahlreiche historische Anmerkungen, Querverbindungen und motivierende Erklärungen haben dieses Buch zu einen Juwel der Lehrbücher zur "Numerischen Mathematik" gemacht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Rechnen
Zusammenfassung
Wie es schon im Vorwort zu diesem Lehrbuch zum Ausdruck gebracht wurde, fassen wir numerische Mathematik als die Mathematik konstruktiver Verfahren auf, die bis zur numerischen Verwirklichung durchgeführt werden. So ist es eine der Aufgaben der numerischen Mathematik, Rechenvorschriften zur exakten oder auch angenäherten Lösung von Problemen innerhalb der Mathematik selbst und in ihren Anwendungsgebieten, etwa in den Naturwissenschaften, der Technik oder der Ökonomie, bereitzustellen. Diese Rechenvorschriften werden in der Form von Algorithmen angegeben und programmiert und mit Hilfe von Rechenautomaten ausgewertet. Grundlage dieser Vorgehensweise ist eine geeignete Darstellung von Zahlen durch physikalische Eigenschaften der benutzten Speicher der Rechenanlage. Aus diesem Grund kann jede Zahl letztlich nur in endlicher Stellenzahl repräsentiert werden. Man muß also in geeigneter Weise Rundungen einführen, wobei dann allerdings bei umfangreicheren Algorithmen eine Akkumulation von Fehlern auftreten kann. Um ein Rechenergebnis im Hinblick auf seine Genauigkeit beurteilen zu können, ist es unerläßlich, eine Fehleranalyse durchzuführen. Dabei muß man zwischen verschiedenen Fehlertypen unterscheiden. Neben dem eben schon angesprochenen Rundungsfehler beeinflussen Datenfehler und Verfahrensfehler das Resultat einer Rechnung.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Viele Fragestellungen in der Mathematik führen auf lineare Gleichungssysteme. Insbesondere wird man beim Einsatz von Rechenanlagen häufig auf die Problemstellung geführt, ein möglicherweise sehr großes lineares Gleichungssystem lösen zu müssen. Das ist der Grund, warum die Bereitstellung von Algorithmen zur Lösung dieser Aufgabe ein zentrales Anliegen der numerischen Mathematik darstellt. Man unterscheidet zwei Typen von Verfahren. Die direkten Verfahren lösen das Problem nach endlich vielen Schritten, so daß kein Verfahrensfehler auftritt. Dagegen können Rundungsfehler das Ergebnis erheblich verfälschen. Bei indirekten Verfahren wird die Lösung durch Iteration, also einen in der Regel nicht abbrechenden Prozeß, näherungsweise bestimmt. Obwohl hier sowohl Abbrechfehler wie auch Rundungsfehler auftreten, können iterative Verfahren durchaus vorteilhaft sein. In diesem Kapitel werden ausschließlich direkte Verfahren abgehandelt. Der Problemkreis der linearen Gleichungssysteme wird im Kapitel 8 mit der Darstellung der indirekten Verfahren im Rahmen der Iteration wieder aufgegriffen werden.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 3. Eigenwerte
Zusammenfassung
Bereits in Kap. 2 haben wir gesehen, daß zur Bestimmung einer Singulärwertzerlegung einer Matrix A die Kenntnis der Eigenwerte von A T Aerforderlich ist. Das dazu durchgerechnete Beispiel 2.6.3 war allerdings so klein dimensioniert, daß man die Eigenwerte durch eine Rechnung von Hand bestimmen konnte. In der Regel sind jedoch Eigenwertprobleme wegen ihrer Größenordnung nur noch mit schnellen Algorithmen und unter Einsatz von Rechenanlagen lösbar. Das gilt etwa für Schwingungsprobleme, bei denen die Eigenfrequenzen nach Diskretisierung der zugehörigen Differentialgleichungen berechnet werden sollen. In diesem Kapitel werden Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten bei Matrizen behandelt.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 4. Approximation
Zusammenfassung
Nach den vorbereitenden Betrachtungen des Kapitels 1 und dem Studium der Methoden der numerischen linearen Algebra in den Kapiteln 2 und 3 wenden wir uns jetzt einer anderen zentralen Frage der angewandten und insbesondere der numerischen Mathematik zu. Wir wollen uns damit befassen, Näherungen für mathematische Objekte zu studieren. Weite Bereiche mathematischer Untersuchungen lassen sich als solche zur Approximation auffassen.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 5. Interpolation
Zusammenfassung
Man spricht von Interpolation, wenn eine Funktion konstruiert werden soll, die an vorgegebenen Stützstellen gegebene Stützwerte annimmt. Es handelt sich also bei der Interpolationsaufgabe um ein spezielles Problem der diskreten Approximation. Jedoch verdient die Interpolationsaufgabe eine gesonderte und ausführlichere Behandlung. Die Ergebnisse der Theorie der Interpolation sind einerseits grundlegend als Teil einer konstruktiven Theorie der Funktionen; andererseits lassen sich daraus zahlreiche Verfahren zur numerischen Integration, zur numerischen Behandlung von Differentialgleichungen sowie zur Diskretisierung allgemeiner Operatorgleichungen gewinnen.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 6. Splines
Zusammenfassung
Unter einem Spline einer reellen Veränderlichen verstehen wir eine Funktion, die stückweise auf Intervallen definiert wird und deren Teile an den Nahtstellen nach bestimmten Glattheitsforderungen verheftet sind. Die Bezeichnung Spline-Funktionen (Spline Functions) geht auf I. J. Schoenberg [1946] zurück. Die so bezeichneten Funktionen waren jedoch schon früher immer wieder bei verschiedenen Aufgabenstellungen benutzt worden. So kann man etwa bereits das Eulersche Polygonzugverfahren, das zur numerischen Berechnung der Lösung der Anfangswertaufgabe einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung dient und das man heute auch im Beweis des Satzes von Peano über die Existenz einer Lösung dieses Problems zu verwenden pflegt, als eine Anwendung einfacher Splines ansehen. Auch C. Runge [1901], W. Quade und L. Collatz [1938], J. Favard [1940] und R. Courant [1943] sind hier zu nennen, ohne daß dies eine vollständige Aufzählung sein könnte. Überhaupt ist die Entstehung der Theorie der Splines ein Beispiel für eine Entwicklung, die durch praktische Erfordernisse ins Leben gerufen wurde. Diese praktischen Erfordernisse bestanden damals in der Notwendigkeit, über anwendbare Methoden zur glatten Approximation empirischer Tabellen im Zusammenhang mit ballistischen Untersuchungen zu verfügen. Die Erarbeitung der Theorie folgte erst später; heute gibt es weit über tausend Veröffentlichungen, die Splines zum Gegenstand haben. Es ist deshalb verständlich, wenn wir uns im Rahmen dieses Lehrbuchs nur einführend mit einem Ausschnitt dieses großen Gebiets befassen können. Wir wählen dazu solche Splines aus, die sich aus Polynomen aufbauen lassen.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 7. Integration
Zusammenfassung
Die numerische Berechnung bestimmter Integrale ist eine der ältesten Aufgaben der Mathematik. Das Problem bestand schon seit Jahrtausenden, längst ehe der Begriff des Integrals im Rahmen der Entwicklung der Analysis im 17. und 18. Jahrhundert mathematisch erfaßt war: Es war die Aufgabe, den Inhalt krummlinig berandeter Flächen zu berechnen. Wohl am bekanntesten ist in diesem Zusammenhang das Problem der Quadratur des Zirkels, das auf das Studium der Zahl π und auf ihre Berechnung hinausläuft.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 8. Iteration
Zusammenfassung
Zu den Grundproblemen der Mathematik und der Praxis gehört das Lösen von Gleichungen. Es handelt sich dabei um die Aufgabe, in einem gegebenen normierten Vektorraum (X, ║ · ║) eine Lösung der Operatorgleichung Fx = 0 zu finden. Der Operator F leiste dabei die Abbildung F: D → X, D ⊂ X; ein Element ξ ∈ D, für das Fξ = 0 gilt, heißt auch Nullstelle von F.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Kapitel 9. Lineare Optimierung
Zusammenfassung
„Da nämlich die Einrichtung der ganzen Welt die vorzüglichste ist und da sie von dem weisesten Schöpfer herstammt, wird nichts in der Welt angetroffen, woraus nicht irgendeine Maximum- oder Minimumeigenschaft hervorleuchtete. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen der Welt ebenso durch die Methode der Maxima oder Minima wie aus den wirkenden Ursachen selbst abgeleitet werden können.“ Diese Feststellung Leonhard Eulers — in freier Übersetzung einem Artikel in den Commentationes Mechanicae entnommen — macht überdeutlich, welche zentrale Rolle das Maximum bzw. Minimum von Funktionen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten spielt. Wir werden uns in diesem Kapitel allerdings auf den Spezialfall der linearen Funktionen und der linearen Nebenbedingungen beschränken. Die Anwendungsmöglichkeit der hier dargestellten Theorie und Verfahren ist aber damit nur wenig eingeschränkt, weil es eine große Zahl von Problemen gibt, die ihrer Natur nach linear sind, und andererseits nichtlineare Probleme ohnehin häufig linearisiert werden. Im Mittelpunkt unserer Betrachtungen steht das Simplex-Verfahren, das zu den wohl am meisten benutzten Verfahren der numerischen Mathematik überhaupt gehört.
Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann
Backmatter
Metadaten
Titel
Numerische Mathematik
verfasst von
Günther Hämmerlin
Karl-Heinz Hoffmann
Copyright-Jahr
1992
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-00173-8
Print ISBN
978-3-540-55652-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-00173-8