Finite Elemente

Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

verfasst von: Prof. Dr. Dietrich Braess

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch Masterclass

Enthalten in: Professional Book Archive

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Über dieses Buch

Diese völlig überarbeitete Neuauflage bietet dem Leser eine gründliche Einführung in die Methode der Finiten Elemente, welche heute verstärkt zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen eingesetzt werden. Die Theorie wird so weit entwickelt, daß der Leser mit Kenntnissen aus den Grundvorlesungen des Mathematikstudiums auskommt. Dem für die Praxis relevanten Mehrgitterverfahren und der Methode der konjugierten Gradienten wird ein breiter Platz eingeräumt. Ausführlich wird die Strukturmechanik als ein wichtiger und typischer Anwendungsbereich für Finite Elemente behandelt. Da dieser Aspekt in anderen Lehrbüchern kaum Berücksichtigung findet, wurde er in der Neuauflage stark überarbeitet und abgerundet. Als weitere Ergänzung ist vor allem die Diskussion von a posteriori Schätzern zu nennen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. Einführung

Zusammenfassung

Bei partiellen Differentialgleichungen unterscheidet man mehrere Typen, insbesondere sind bei Differentialgleichungen 2. Ordnung die elliptischen, hyperbolischen und parabolischen von großer Bedeutung. Die Theorie und die numerische Behandlung sind bei den drei Typen sehr unterschiedlich. So ist der Typ z. B. auch ausschlaggebend dafür, ob Anfangs-, Rand- oder Anfangsrandbedingungen sinnvoll sind. Ein solches Phänomen gibt es nicht bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Dietrich Braess

Kapitel II. Konforme Finite Elemente

Zusammenfassung

Die mathematische Behandlung der Finite-Element-Verfahren fußt auf der Variationsformulierung elliptischer Differentialgleichungen. Die Lösungen der wichtigsten Differentialgleichungen lassen sich durch Minimaleigenschaften charakterisieren. Die Variationsaufgaben besitzen Lösungen in den Funktionenräumen, die man als Sobolev-Räume bezeichnet. Für die numerische Behandlung führt man die Minimierung in endlichdimensionalen Unterräumen durch. Als passend — sowohl aus praktischer als auch aus theoretischer Sicht — haben sich die sogenannten Finite-Element-Räume erwiesen.

Dietrich Braess

Kapitel III. Nichtkonforme und andere Methoden

Zusammenfassung

Bei der Theorie konformer Finiter Elemente wird davon ausgegangen, daß die Finite-Element-Räume in dem Funktionenraum enthalten sind, in dem das Variationsproblem gestellt ist. Außerdem wird gefordert, daß die Rechnungen mit der gegebenen Bilinearform a(., .) exakt ausgeführt werden. In der Praxis ist man häufig gezwungen, sich von diesen Fesseln zu befreien.

Dietrich Braess

Kapitel IV. Die Methode der konjugierten Gradienten

Zusammenfassung

Bei der Diskretisierung von Randwertaufgaben entstehen sehr große Gleichungssysteme, die mehrere tausend Unbekannte enthalten können. Insbesondere bei echt räumlichen Problemen oder bei Ansätzen höherer Ordnung wird die Bandbreite der Matrizen so groß, daß der Gaußsche Eliminationsalgorithmus und seine modernen Varianten nicht mehr als effiziente Verfahren gelten können. Dann ist man auch bei linearen Problemen auf Iterationsverfahren angewiesen.

Dietrich Braess

Kapitel V. Mehrgitterverfahren

Zusammenfassung

Die Mehrgitterverfahren zählen zu den schnellsten Gleichungslösern bei Problemen mit sehr vielen Unbekannten. Fedorenko [1961, 1964] formulierte als erster 2-Gitter- bzw. Mehrgitter-Algorithmen und zeigte, daß der Rechenaufwand nur wie O(n) ansteigt, wenn n die Zahl der Unbekannten bezeichnet. Bachvalov [1966] setzte die Untersuchungen für Differenzengleichungen fort und ließ variable Koeffizienten zu. Aber erst um 1975 entdeckte A.Brandt, daß die Mehrgitterverfahren wesentlich besser als andere bekannte Verfahren schon für solche n sind, wie sie in aktuellen Problemen häufig auftreten. Unabhängig davon hat Hackbusch [1976] die Mehrgittermethode wiederentdeckt und mit neuen Ideen zu einer Vereinfachung der Konzepte beigetragen.

Dietrich Braess

Kapitel VI. Finite Elemente in der Mechanik elastischer Körper

Zusammenfassung

Die Verformung von elastischen und inelastischen Körpern unter Lasten sowie die auftretenden Spannungen werden heute vorwiegend mit Finite-Element-Methoden bestimmt. Es sind hier Systeme von Differentialgleichungen mit einer besonderen Struktur zu lösen. Offensichtlich ändert sich bei orthogonalen Transformationen und Translationen, also bei sogenannten Starrkörperbewegungen die elastische Energie nicht.

Dietrich Braess

Backmatter

Titel: Finite Elemente
verfasst von: Prof. Dr. Dietrich Braess
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-07233-2
Print ISBN: 978-3-540-61905-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07233-2

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Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. Einführung

Kapitel II. Konforme Finite Elemente

Kapitel III. Nichtkonforme und andere Methoden

Kapitel IV. Die Methode der konjugierten Gradienten

Kapitel V. Mehrgitterverfahren

Kapitel VI. Finite Elemente in der Mechanik elastischer Körper

Backmatter