Drehimpulse in der Quantenmechanik

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Symbolliste

Albrecht Lindner

1. Drehimpulse

Zusammenfassung

In der Quantenmechanik sind Drehimpulsoperatoren Erzeugende infinitesimaler Drehungen. Dementsprechend beginnen wir mit den Drehungen im dreidimensionalen Raum und führen danach den Drehimpuls ein. Damit können wir den Eigendrehimpuls (Spin) ungezwungen einfügen und auf die Vertauschgesetze schließen. (In vielen Lehrbüchern wird anders angefangen, nämlich aus den Vertauschgesetzen für Orts- und Impulsoperatoren auf die für den Bahndrehimpuls geschlossen — und der dann um den Eigendrehimpuls erweitert.)

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2. Drehimpulsdarstellung

Zusammenfassung

Der Drehimpuls \( \overrightarrow J \) ist ein hermitischer Vektoroperator. Im Laborsystem genûgen seine kartesischen Komponenten dem Vertauschgesetz

$$ \left[ {{J_x},{J_y}} \right] = i{J_z}$$

und zyklisch.

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3. Kopplung von Drehimpulsen

Zusammenfassung

Oft setzt sich der Drehimpuls eines J⃗ Systems aus N untereinander vertauschbaren Drehimpulsen, J⃗ ₁, J⃗ ₂,...,J⃗ _N zusammen. Beispiele für N = 2 bilden Teilchen mit Bahndrehimpuls L⃗ und Spin S⃗ oder Paare mit den jeweiligen Drehimpulsen J⃗ ₁ und J⃗ ₂ (Haben beide Partner Bahndrehimpuls und Spin, so ist N = 4.) Bei solchen Problemen ist die Darstellung |j ₁ m ₁ j ₂ m ₂...j _N m _N ) oft unbequem, weil i. a. die Einzeldrehimpulse J⃗ _n keine Erh altungsgrößen sind, sondern nur der Gesamtdrehimpuls

$$ \overrightarrow J \equiv {\overrightarrow J _1} + {\overrightarrow J _2} + .... + {\overrightarrow J _N}$$

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4. Umkopplung: 6j- und 9j-Symbole

Zusammenfassung

Der Übergang von einer gekoppelten Darstellung zu einer anderen heißt Umkopplung, wie schon in Abschn. 3.2 erwähnt wurde. Verschieden gekoppelte Darstellungen gibt es erst bei mehr als zwei Drehimpulsen; erst dann kann umgekoppelt werden. Besonders viel gebraucht werden Umkopplungskoeffizienten für drei und vier Drehimpulse. Sie führen auf 6j- und 9j-Symbole.

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5. Irreduzible Tensoroperatoren

Zusammenfassung

In den letzten drei Kapiteln wurde die Drehimpulsdarstellung besprochen. Um sie anzuwenden, drückt man am besten auch die Operatoren in einer geeigneten Basis aus: Wichtig ist ihr Vertauschverhalten mit dem Drehimpuls \( \overrightarrow J \).

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6. Darstellung der Drehoperatoren: Kreiselfunktionen

Zusammenfassung

Sind die ursprünglichen und die gedrehten Koordinatenachsen gegeben, so müssen wir erst noch die Drehachsenrichtung und den Drehwinkel bestimmen, mit denen bisher (vgl. Abschn. 1.1) die Drehung bezeichnet wurde. Oft gibt man die Drehung durch drei andere Parameter an, die unmittelbar mit dem alten und dem neuen Koordinatensystem zusammenhängen, nämlich durch die Eulerwinkel α, β und γ. Die beiden ersten Eulerwinkel nennen Azimut und Poldistanz der neuen \( \vec z\)-Achse im alten System, während der dritte Eulerwinkel γ den Winkel zwischen der neuen \( \vec y\)-Achse und der “Knotenlinie” angibt. Diese Knotenlinie steht senkrecht auf der alten und neuen \( \vec z\)-Achse, ihre positive Richtung bildet mit der alten und neuen \( \vec z\)-Achse eine Rechtsschraube — vgl. Bild 8, wo \( \vec y' = \vec y''\)die Knotenlinie ist. Die alte \( \vec z\) -Achse hat im neuen Koordinatensystem die Polarwinkel (β, π - γ).

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7. Kugelfunktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll die Ortsdarstellung der Eigenzustände zum BahndrehimpuIsoperator besprochen werden. Dabei kommt es nur auf die Abhängigkeit von der Richtung Ω = (ϕ, φ) an, denn die Radialkoordinate r bleibt ja bei Drehungen um den Ursprung ungeändert.

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8. Korrelationsfunktionen

Zusammenfassung

Zeichnet ein physikalisches System nur eine Richtung aus, so wählt man sie am besten zur Quantisierungsrichtung (\( \vec z\)-Richtung), denn es ist ja

$$ C_m^{(n)}(0,0) = {\delta _{m0}}$$

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9. Entwicklung Nach Kugelfunktionen

Zusammenfassung

Die Eigenzustände (lm) des Bahndrehimpulsoperators (d.h. zu L ² und L _z) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Alle eindeutigen, normier und differenzierbaren Funktionen der Richtung Ω = (ϕ, φ) lassen sich deshalb nach Kugelfunktionen entwickeln:

$$ f(\Omega ) = \sum\limits_{lm} {{i^l}Y_m^{(l)}(\Omega )f_m^{(l)}} *$$

mit

$$ f_m^{(l)*} = \int {{i^{ - l}}Y_m^{(l)*}(\Omega )} f\left( \Omega \right)d\Omega $$

.

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10. Vektorkugelfunktionen und Ihre Anwendungen

Zusammenfassung

In Abschn. 9.4 wurden die Vektorkugelfunktionen durch die Gleichung

$$ \vec Y_m^{\left( {l,1} \right)j}\left( \Omega \right) \equiv \sum\limits_{m'm''} {Y_{m'}^{\left( l \right)}\left( \Omega \right)\vec e_{m''}^{\left( 1 \right)}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} l&1 \\ {m'}&{m''} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} j \\ m \end{array}} \right.} \right) $$

eingeführt, wobei die “sphärischen Einheitsvektoren” nach Abschn. 5.4 einen nicht allgemein üblichen Faktor i enthalten. Er führt zu der Eigenschaft

$$ \vec Y_m^{(l,1)j*}(\Omega ) = {( - )^{l + j + m}}\vec Y_{ - m}^{(l,1)j}(\Omega ) $$

weshalb wir — wie bei den gewöhnlichen Kugelfunktionen — in der Ortsdarstellung noch einen Faktor i l für ein geeignetes Verhalten bei Zeitumkehr brauchen. An weiteren Eigenschaften seien kurz erwähnt:

$$ \vec Y_m^{(l,1)j}( - \Omega ) = {( - )^l}\vec Y_m^{(l,1)j}(\Omega ) $$

und die “Orthonormierung”

$$ \int {\left( {\vec Y_m^{(l,1)j*}(\Omega ) \cdot \vec Y_{m'}^{(l',1)j'}(\Omega )} \right)} \,d\Omega = {\delta _{ll'}}\,{\delta _{jj'}}\,{\delta _{mm'}}$$

.

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11. Systeme mit Besonderen Dreheigenschaften

Zusammenfassung

Im folgenden wollen wir die Dreheigenschaften gegebener Systeme ausnutzen. Dabei wollen wir neben reinen Zuständen auch Gemische zulassen, also verschiedene reine Zustände ⃒ψi › mit Wahrscheinlichkeiten N _i inkohärent überlagern — kein Darstellungswechsel kann eine inkohärente Überlagerung in einen reinen Zustand verwandeln. Zum Beispiel bilden unpolarisierte Teilchen (mit Spin s > 0) ein Gemisch. Es wäre ungeschickt, hier erst mit reinen Zuständen zu rechnen und am Ende passend zu mitteln: Besser nimmt man von Anfang an den Dichteoperator ρ. Er ist grundlegend für die gesamte Quantenphysik (vgl. z.B. FANO). In der statistischen Physik entspricht ihm die Dichte im Phasenraum.

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12. Anwendungen in der Streutheorie

Zusammenfassung

In der Streutheorie geht man von einem Anfangszustand (Initialzustand) ⃒ψi› aus und betrachtet Eigenschaften des Endzustandes (Finalzustandes) ⃒ψf › oder des Streuzustandes ⃒ψst › = ⃒ψf › - ⃒ψi ›. Zwischen diesen Zuständen vermitteln der Streuoperator S und der hier mehr benutzte Übergangsoperator T:

$$ \eqalign{&S=1 - 2\pi iT,\cr&\left|{{\psi _f}} \right\rangle = S\left| {{\psi _i}} \right\rangle ,\quad \left| {{\psi _{st}}} \right\rangle = - 2\pi iT\left| {{\psi _i}} \right\rangle \cr} $$

.

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13. Anwendungen bei Vielteilchensystemen

Zusammenfassung

Bei Problemen mit mehreren gleichen Teilchen sollte man gleich die Austauschsymmetrie berücksichtigen. Sie hat zwar eine andere physikalische Ursache als die Drehsymmetrie und kann deshalb völlig unabhängig davon betrachtet werden, aber das wäre ungeschickt, weil die Austauschsymmetrie die möglichen Drehimpulse einschränken kann, wie wir in Abschn. 3.15 gesehen haben.

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