Reguläre und chaotische Dynamik

Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer, biologischer oder anderer real existierender Systeme. Es wird definiert durch einen Zustands- oder Phasenraum M,der zunächst der ℝⁿ oder eine offene Teilmenge davon sei, und eine einparametrige Familie von Abbildungen φ ^t : M → M,wobei der Parameter t (Zeit) aus ℝ bzw. ℝ+ (zeitkontinuierlich) oder aus ℤ bzw. ℤ₊ (zeitdiskret oder kurz diskret) ist. Die jeweilige Zeitmenge wird im weiteren mit Γ bezeichnet.

Gegeben sei auf M ein dynamisches System {φ ^t }_t∈Γ. Die Bewegung durch p heißt konstant, wenn φ ^t (p) = p für alle t ∈ Γ ist. Der zugehörige Orbit heißt auch Ruhelage. Eine Bewegung durch p (bzw. ihr Orbit) heißt periodisch (oder Zyklus), wenn es ein T ≥ 0 aus Γ gibt, so daß φ ^T (p) = p ist. Das kleinste T ≥ 0 aus Γ mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Bewegung. Die Orbits periodischer Bewegungen auf dem flachen bzw. eingebetteten Torus zeigen die Abbildungen 2.1a bzw. 2.1b. Wichtig für Anwendungen sind isolierte periodische Orbits, die man auch Grenzzyklus nennt.

Es \(sei\varphi :M \to\) M eine gegebene Abbildung. Für eine beliebige Teilmenge \(A \subset Msei{\varphi ^{ - 1}}\left( A \right): = \left\{ {X \in M:\varphi \in A} \right\}\) die Urbildmenge von A. Die Menge A ⊂ M heißt schwach (oder positiv) invariant bzgl.φ, wenn φ (A) ⊂ A ist, sie heißt invariant, wenn φ(A) = A ist, und streng invariant, wenn φ ⁻¹(A) = A gilt. Offensichtlich folgt aus der strengen Invarianz die Invarianz und aus der Invarianz die schwache Invarianz. Ist φ invertierbar, folgt aus der Invarianz auch die strenge Invarianz. Es sei nun {φ ^t }_tϵГ ein dynamisches System auf (M, d).

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie sich das Volumen einer Menge im Ergebnis der Transformation durch ein dynamisches System verändert. Wir betrachten dazu ein invertierbares dynamisches System {φ ^t } mit M ⊂ ℝ ⁿ als Phasenraum und Γ = ℝ oder Γ = ℤ.

Gegeben sei auf (M, d)das dynamische System {φ ^t }_t∈г.

Gegeben seien die beiden C ^r -glatten Differentialgleichugen und auf offenen Teilmengen M bzw. N des ℝ ⁿ , und es seien φ : D(f) → M bzw. ψ : D(g) → N die zugehörigen lokalen Flüsse.

Gegeben seien die lineare Differentialgleichung in der A eine stetige T-periodische n × n-Matrixfunktion auf R ist, und die zugehörige Matrix-Differentialgleichung mit Z als n × n-Matrixfunktion. Die Lösung Y von (7.2) mit Y(0) = I heißt die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix von (7.1).

Es sei A eine reelle n × n-Matrix, die (im Sinne von Abschnitt 6.4) m Eigenwerte mit negativem Realteil, s Eigenwerte mit Realteil Null und k = n − m − s Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt. Dann existieren m-, s- bzw. k dimensionale Untervektorräume U ⁱ (i = 1, 2, 3) des ℝ ⁿ , so daß ℝ ⁿ = U ^l⊕U ²⊕U ³ (direkte Summe) gilt. Dabei sind die U ⁱ invariant unter A und e ^At , d.h., es gilt für i = 1, 2, 3 AU ⁱ ⊂ U ⁱ und e ^At U ⁱ ⊂ U ⁱ (t ∈ ℝ), und die Einschränkung A|u ⁱ . von A auf U ⁱ hat für i = 1, 2, 3 jeweils die Eigenwerte von A, die negativen, verschwindenden bzw. positiven Realteil besitzen. Die behauptete Zerlegung des ℝ ⁿ erhält man sofort für den Fall, wenn die Matrix A in der reellen Jordanschen Normalform A = diag(B, C, D) gegeben ist. Dabei sind B, C und D Blockdiagonalmatrizen der Ordnungen m × m, s × s bzw. k × k, deren Diagonalblöcke Jordan-Blöcke sind, die den Eigenwerten von A mit negativen, verschwindenden bzw. positiven Realteilen entsprechen.

Wesentliche Eigenschaften eines dynamischen Systems{φ ^t }_t∈Γ im metrischen Raum (M,d) werden dadurch charakterisiert, ob sich zwei Bewegungen φ ^t (p) und φ ^t (q) für wachsende Zeiten aufeinander zu bewegen oder ob sie auseinandergehen. Betrachtet man als Maß für die Benachbartheit die Größe d(φ ^t (p), φ ^t (q)), so kommt man zum Begriff der Lyapunov-Stabilität, betrachtet man dagegen die Abstände der Orbits, so gelangt man zur Eigenschaft der orbitalen Stabilität.

Gegeben sei auf M ⊂ ℝ ⁿ die Differentialgleichung .

Gegeben sei das Vektorfeld ,wobei \(f:M \to {\mathbb{R}^n}\) eine C ^r -Abbildung sei, die auf der offenen Menge \(M \subset {\mathbb{R}^n}\left( {n \geqslant 2} \right)\) den Fluß φ erzeuge. Wir nehmen an, daß \(\varphi \left( { \cdot ,p} \right)\) eine T-periodische Bewegung von (11.1) ist und wollen die orbitale Stabilität dieser Bewegung untersuchen. Dazu wird, parallel zu (11.1), die Variationsgleichung entlang der periodischen Bewegung, d.h. die lineare Differentialgleichung mit der T-periodischen Matrix\(A\left( t \right) = Df\left( {\varphi \left( {t,p} \right)} \right)\),betrachtet.

Gegeben sei eine stetige Abbildung mit M ⊂ ℝ ⁿ . Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit Fragen der Existenz bzw. Nichtexistenz von Fixpunkten und periodischen Punkten von (12.1) beschäftigen. Wichtigste Instrumentarien für solche Untersuchungen sind Fixpunktsätze, von denen einer der bekanntesten zunächst zitiert werde (z.B. [1]).

Gegeben sei die Differentialgleichung, in der \(f:M \subset {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) ein glattes Vektorfeld mit globalem Fluß φ sei. Der klassische Existenzsatz für periodische Lösungen von Differentialgleichungen in der Ebene geht auf Bendixson und Poincaré zurück.

Gegeben sei die Differentialgleichung mit globalem C ^r -Fluß ϕ. Wir wollen, analog zur Diskussion der periodischen Lösungen einer Differentialgleichung, auch für die Existenz rekurrenter bzw. fastperiodischer Lösungen in (14.1) hinreichende Bedingungen formulieren. Dies geschieht in sehr geraffter Form; ausführlich wird dieses Problem in [25] diskutiert.

Wir betrachten auf der offenen Menge M ⊂ ℝ ⁿ die C ^r -glatten Vektorfelder mit globalem Fluß {φ ^t } _{t ∈R}. Es sei U ⊂ M eine weitere offene Menge.

Gegeben sei auf M ⊂ Rⁿ ein dynamisches System {φ _ε ^t }_t∈Γ das zusätzlich von einem Parameter ε ∈ V ⊂ R ^l abhängen soll. Die Menge V sei offen und es gelte 0 ∈ V. Jede Änderung der topologischen Struktur des Phasenporträts des dynamischen Systems bei kleiner Änderung des Parameters heißt Bifurkation. Der Wert ε = 0 heißt Bifurkationswert,wenn in jeder Umgebung von 0 Parameter-werte ε ∈ V existieren, so daß die dynamischen Systeme {φ _ε ^t } und {φ ₀ ^t } auf M topologisch nicht äquivalent bzw. nicht konjugiert sind. Man unterscheidet lokale Bifurkationen, die nahe einzelner Orbits des dynamischen Systems ablaufen, und globale Bifurkationen, die sofort einen großen Teil des Phasenraumes betreffen.

Gegeben sei bei ε = 0 in der Differentialgleichung (16.1) ein periodischer Orbit γ ₀ mit den Multiplikatoren ρ ₁,..., ρ _n−1 und ρ _n = 1.

Zur Beschreibung der in Abschnitt 17.1 diskutierten Bifurkationen in der Nähe von Ruhelagen waren reduzierte Differentialgleichungen ausreichend, die nur von einem skalaren Parameter abhängen. Wir kommen nun zu einer kurzen Darstellung von Bifurkationen in Differentialgleichungen, die durch reduzierte Gleichungen mit mindestens zwei skalaren Parametern gekennzeichnet sind.

Wir betrachten auch hier wieder die allgemeine Differentialgleichung (16.1). Die bisher diskutierten Bifurkationen waren fast alle von lokaler Natur. Ausnahmen gab es z.B. im Punkt b) von Kapitel 19 mit einer ebenen SeparatrixschlingenBifurkation, die (bzgl. der Phasenebene) sofort globalen Charakter trug. Das Prinzip der Abspaltung eines periodischen Orbits aus einer homoklinen Kurve kann zu Aussagen im ℝ ⁿ verallgemeinert werden. Wir stellen im weiteren einige dieser Aussagen dar, die im wesentlichen auf L.P. Shilnikov zurückgehen.

Gegeben sei eine Menge S aus m verschiedenen Elementen (Symbole).

In Kapitel 4 wurden invertierbare dynamische Systeme unter dem Aspekt des Volumenerhalts betrachtet. Es wurde demonstriert, daß das Vorhandensein eines für das System invarianten Maßes Rückschlüsse auf das Rekurrenzverhalten der Orbits dieses Systems zuläßt. Wir wollen in diesem Abschnitt nun auch nicht invertierbare Systeme einschließen und gleichzeitig die Klasse der betrachteten invarianten Maße erweitern. Auf dem metrischen Raum (M, d) sei das dynamische System {φ ^t } _{t ∈Γ} gegeben. Es seien B die σ-Algebra der Borelmengen auf M und μ : B → [0, + ∞] ein Borel-Maß. Das dynamische System {φ ^t } _{t ∈Γ} wird bezüglich dieses Maßraumes (M, B, μ) als meßbar vorausgesetzt.

Auf M (Teilmenge des ℝ ⁿ ) sei ein glattes dynamisches System {φ ^t }_t∈Γ gegeben.

Ziel dieses Abschnittes soll es ein, ein Maß dafür zu beschreiben, mit welcher Intensität ein dynamisches System offene Teilmengen des Phasenraumes durcheinanderwirbelt. Dieses Maß wird die topologische Entropie sein, deren Definition auf R.L. Adler, A.G. Konheim und M.H. McAndrew ([2]) zurückgeht. Sie ist eine topologische Invariante, d.h., topologisch konjugierte Systeme haben gleiche Entropien. Darüber hinaus ist die Entropie eines Systems endlich, wenn keine zufälligen Einflüsse vorliegen.

Im vorigen Kapitel wurden Entropien als Maße für die dynamische Kompliziertheit eines Systems eingeführt. Aus den jeweiligen Eigenschaften eines dynamischen Systems ergeben sich aber auch ganz bestimmte Konsequenzen für die geometrische Struktur einer invarianten Menge. Oft sind dies, wie in den Kapiteln 9 bis 13 gezeigt wurde, glatte Mannigfaltigkeiten wie geschlossene Kurven oder Tori. Besonderes Interesse rufen allerdings solche dynamischen Systeme hervor, deren invariante Mengen keine glatten Flächen sind, sondern solche, die durch Porösität, Ausfransung, Selbstähnlichkeit und andere Eigenschaften gekennzeichnet sind. Zur genaueren Charakterisierung solcher Mengen werden verschiedene Dimensionen betrachtet. Die Dimension als allgemeiner Begriff läßt sich nur schwer definieren, da sehr unterschiedliche Varianten unter dieser Überschrift laufen. Die Dimension d(A) ist aber immer ein Maß für die Fülle der Menge A, das eine Reihe natürlicher Eigenschaften haben sollte. So sollte für zwei beliebige, weit genug auseinanderliegende Mengen A und B möglichst d(A ∪ B) = max{d(A), d(B)} sein. Die Dimension sollte weiter bei Maßstabsveränderungen invariant bleiben, und es sollte möglichst d(A × B) = d(A) + d(B) sein. Für differenzierbare Abbildungen h wäre die Eigenschaft d(h(A)) = d(A) wünschenswert. Wir werden sehen, in welchem Umfang diese Eigenschaften bei den einzelnen Dimensionstypen vertreten sind.

Chaotische dynamische Systeme zeichnen sich durch kompliziertes, anscheinend zufälliges Verhalten der Orbits auf einer invarianten Menge mit eventuell nichtganzzahliger Hausdorff-Dimension aus. Wir wollen diese Eigenschaften etwas präziser fassen. Dazu sei wieder {φ ^t } _{t ∈Γ} ein dynamisches System auf (M, d). Eine invariante Menge Λ ⊂ M dieses Systems heißt chaotisch (zusammen mit dem System), wenn das System auf Λ eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen besitzt. Die Eigenschaft „sensitive Abhängigkeit“ kann auf verschiedene Weise quantifiziert werden. So liegt für ein zeitdiskretes System auf der invarianten Menge Λ sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen im Sinne von Bernoulli vor, wenn eine gewisse Iterierte des Systems auf der invarianten Menge semi-konjugiert zu einer Shift-Dynamik ist. Ein zeitkontinuierliches System besitzt eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen im Sinne von Bernoulli, wenn es eine Poincaré-Abbildung bzgl. einer transversalen Fläche gibt, so daß diese Abbildung im obigen Sinne Bernoulli-sensitiv ist. Für Systeme, für die Lyapunov-Exponenten bestimmt werden können, kann die sensitive Abhängigkeit auf der invarianten Menge durch die Positivität des größten Lyapunov-Exponenten eines auf Λ konzentrierten invarianten ergodischen Maßes verstanden werden.