Identifikation dynamischer Systeme

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel gibt eine grundlegende Einführung in die Systemidentifikation. In der Systemidentifikation geht es hauptsächlich darum, Modelle für die Beschreibung dynamischer Systeme zu bestimmen. In dieser Einführung werden zunächst grundsätzliche Unterscheidungskriterien für solche Modelle und Anwendungsbereiche für deren Einsatz angegeben. Anschließend werden zwei Wege der Modellbildung, die theoretische Modellbildung und die experimentelle Modellbildung, betrachtet. Abschließend wird die allgemeine Vorgehensweise bei der Systemidentifikation mit den Schritten Versuchsplanung, Datenerfassung, Wahl des Identifikationsverfahrens und Validierung des ermittelten Modells beschrieben.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

2. Identifikation linearer Systeme anhand nichtparametrischer Modelle im Zeit- und Frequenzbereich

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden verschiedenen Verfahren zur Identifikation linearer dynamischer Systeme mit nichtparametrischen Modellen vorgestellt. Neben den allgemeinen Zusammenhängen, die der nichtparametrischen Identifikation zugrunde liegen, werden Methoden im Zeit- und im Frequenzbereich betrachtet. Im Zeitbereich werden verschiedene Ansätze zur Bestimmung der Übergangsfunktion (normierte Sprungantwort) und der Gewichtsfunktion (normierte Impulsantwort) behandelt, wie z.B. die Bestimmung der Übergangsfunktion aus der Antwort auf Testsignale und die Korrelationsanalyse. Im Frequenzbereich wird die Approximation des gemessenen Frequenzgangs durch rationale Funktionen behandelt sowie die Bestimmung des Frequenzgangs aus der Anregung mit deterministischen Testsignalen.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

3. Identifikation linearer Eingrößensysteme mittels Parameterschätzverfahren

Zusammenfassung

Für die Bestimmung von zeitdiskreten parametrischen Modellen (Übertragungsfunktionen bzw. Differenzengleichungen) für lineare Eingrößensysteme werden meist Parameterschätzverfahren verwendet. In diesem Kapitel wird die hierbei betrachtete Problemstellung beschrieben sowie die der Parameterschätzung zugrunde liegende Modellstruktur eingeführt. Darauf aufbauend werden verschiedene Verfahren für die Parameterschätzung im Zeitbereich vorgestellt, wobei nichtrekursive und rekursive Verfahren betrachtet werden. Anschließend wird auf die Schätzung zeitvarianter Parameter und auf die Identifikation im Frequenzbereich eingegangen. Gelegentlich muss die Parameterschätzung im geschlossenen Kreis durchgeführt werden, was gewisse Probleme und Fragestellungen nach sich zieht. Daher wird abschließend auch auf die Identifikation im geschlossenen Kreis eingegangen.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

4. Strukturprüfung für lineare Eingrößensysteme

Zusammenfassung

Für die experimentelle Systemidentifikation ist eine geeignete Modellstruktur auszuwählen, mit der das betrachtete dynamische System ausreichend gut beschrieben werden kann. Für die im vorangegangenen Kapitel behandelte Parameterschätzung bei linearen, zeitdiskreten Eingrößensystemen bedeutet dies die Bestimmung der Modellordnung. Dies kann mit sogenannten Strukturprüfverfahren erfolgen, die in diesem Kapitel behandelt werden. Es wird dabei unterschieden zwischen Verfahren zur A-priori-Ermittlung der Ordnung, Verfahren zur Beurteilung der Ausgangssignalschätzung und Verfahren zur Beurteilung der geschätzten Übertragungsfunktion. Die Verfahren werden vorgestellt und anhand eines Beispiels verdeutlicht.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

5. Identifikation linearer Mehrgrößensysteme mittels Parameterschätzverfahren

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Parameterschätzverfahren für lineare Mehrgrößensysteme behandelt. Es werden zunächst Ansätze vorgestellt, die auf der Beschreibung des Systems durch Übertragungsfunktionen und Übertragungsmatrizen basieren und anschließend Ansätze, denen eine Beschreibung mit Polynommatrizen zugrunde liegt. Bei der Parameterschätzung werden nichtrekursive und rekursive Verfahren betrachtet. Anschließend wird mit der auf dem ebenfalls kurz dargestellten Ho-Kalman-Realisierungsalgorithmus basierenden Subspace-Identifikation ein Ansatz zur Identifikation von Zustandsraummodellen vorgestellt.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

6. Identifikation unter Verwendung zeitkontinuierlicher Modelle

Zusammenfassung

In der Systemidentifikation werden meist zeitdiskrete Modelle zur Beschreibung des Systemverhaltens verwendet. In einigen Fällen ist jedoch ein zeitkontinuierliches Modell erforderlich oder vorteilhaft. So haben bei zeitkontinuierlichen Modellen die Modellparameter oftmals eine physikalisch Bedeutungen, die bei der Umrechnung in zeitdiskrete Modelle verloren geht. Weiterhin können bei der Identifikation mit zeitdiskreten Modellen numerische Probleme auftreten, wenn eine zu niedrige Abtastzeit gewählt wird. In diesem Kapitel werden daher Verfahren zur Identifikation mit zeitkontinuierlichen Modellen vorgestellt. Hierunter fallen Verfahren, bei der die in den Modellbeschreibungen auftretende Differentiation der Eingangs- und Ausgangsignale durch spezielle Ansätze umgangen bzw. durch Integration ersetzt werden kann. Daneben wird ein Verfahren mit selbstanpassendem Modell behandelt sowie die Identifikation unter Verwendung der δ-Transformation, die gegenüber der z-Transformation gewisse numerische Vorteile bietet.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

7. Modelle für nichtlineare dynamische Systeme

Zusammenfassung

Für die Identifikation nichtlinearer dynamische Systeme sind entsprechend nichtlineare Modell erforderlich. Im Gegensatz zu linearen Systemen, bei denen alle Modelle (im Zeit- und Bildbereich) prinzipiell ineinander überführbar sind, existieren für nichtlineare Systeme eine Vielzahl unterschiedlicher Modelle, die z.T. auch nur zur Beschreibung spezieller nichtlinearerer Systeme geeignet sind. In diesem Kapitel werden zunächst Kriterien für eine allgemeine Einteilung dynamische Modelle diskutiert. Darauf aufbauend werden als Eingangs-Ausgangs-Modelle die Volterra- und die Wiener-Reihe, Differentialgleichungen und Modulationsfunktionsmodelle, Differenzengleichungen und NARMAX-Modelle, das Kolmogorov-Garbor-Polynom, das bilineare zeitdiskrete Eingangs-Ausgangs-Modell, blockorientierte Modelle sowie künstliche neuronale Netze und Fuzzy-Modelle ausführlich dargestellt. Anschließend werden Zustandsraummodelle behandelt, wobei als Spezialfälle das steuerungslineares Modell, das zustandslineare Modell, das bilineare Modell und blockorientierte Modelle betrachtet werden.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

8. Verfahren zur Identifikation nichtlinearer Systeme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden verschiedene Verfahren zur Identifikation nichtlinearer Modelle dargestellt. Zunächst erfolgt ein Überblick über verschiedenen Verfahren und es werden verschiedenen Einteilungskriterien angegeben. Als explizite Verfahren werden anschließend die Bestimmung von Kernen für Volterra- und Wienerreihen und die direkte Least-Squares-Schätzung bei affin parameterabhängigem Modellfehler behandelt. Als implizite Verfahren werden die rekursive Least-Squares-Schätzung bei affin parameterabhängigem Modellfehler, das Backpropagationsverfahren für die Identifikation mit künstlichen neuronalen Netzen und die rekursive Parameterschätzung für nichtlineare Zustandsraummodelle vorgestellt. Abschließend werden verschiedenen Methoden für die Strukturprüfung nichtlinearer Systeme behandelt, also Verfahren, mit denen eine geeignete Modellstruktur zur Beschreibung eines nichtlinearen dynamischen Systems bestimmt werden kann.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

9. Praktische Aspekte der Identifikation

Zusammenfassung

Bei der Identifikation dynamischer Systeme sind in der Praxis zahlreiche Aspekte zu berücksichtigen, die in diesem Kapitel ausführlich diskutiert werden. So sind technische und nichttechnische Randbedingungen zu beachten und theoretische Vorbetrachtungen und Voruntersuchungen durch Simulationsstudien durchzuführen. Hinzu kommen der experimentelle Aufbau und die Festlegung von technischen Parametern wie der Abtastzeit und der Messdauer. Sehr detailliert wird auf die Wahl und Erzeugung des für die Anregung des Systems verwendeten Eingangssignals eingegangen. Hierbei werden besonders periodische Signale ausführlich behandelt, da diese für die Systemidentifikation als sehr vorteilhaft angesehen werden können. Es werden spezielle periodische Signale, wie z.B. der periodisch fortgesetzte Gleitsinus und Pseudo-Random-Multilevel-Sequence-Signale betrachtet. Abschließend wird auf das Durchführen der Messung, die Sichtung und Bearbeitung der Messdaten, die Wahl einer Modellstruktur, das Durchführen der Identifikation sowie auf die Bewertung und Dokumentation des Ergebnisses eingegangen.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

A. Grundlagen der statistischen Behandlung linearer Systeme

Zusammenfassung

Dieser Anhang fasst die für die statistische Behandlung linearer Systeme erforderlichen Grundlagen aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zusammen. Dargestellt werden einige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, stochastische Prozesse und deren Beschreibung im Zeit- und Frequenzbereich über Korrelationsfunktionen und Leistungsdichten. Abschließend werden die statistischen Eigenschaften von Parameterschätzverfahren behandelt.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

B. Statistische Bestimmung dynamischer Eigenschaften linearer Systeme

Zusammenfassung

In diesem Anhang werden grundlegende Zusammenhänge zwischen den Korrelationsfunktionen und den Leistungsdichten der Eingangs- und Ausgangssignale von linearen dynamischen Systemen angegeben. Diese können in der Identifikation zur Bestimmung der Gewichtsfunktion oder des Frequenzgangs herangezogen werden.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

C. Fourier-Transformation

Zusammenfassung

In diesem Anhang sind einige Eigenschaften der Fourier-Transformation zusammengestellt.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

D. Herleitung gewichteter rekursiver Parameterschätzverfahren

Zusammenfassung

In diesem Anhang finden sich die Herleitungen des gewichteten rekursiven Least-Squares-Verfahrens und des gewichteten rekursiven Hilfsvariablen-Verfahrens, welche im dritten Kapitel behandelt werden.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

E. Kanonische Beobachtbarkeitsnormalform eines Mehrgrößensystems

Zusammenfassung

In diesem Anhang wird die kanonische Beobachtbarkeitsnormalform eines Mehrgrößensystems hergeleitet, welche im Zusammenhang mit der im fünften Kapitel behandelten Darstellung eines linearen Mehrgrößensystems mit Polynommatrizen benötigt wird.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

F. Hartley-Transformation

Zusammenfassung

In diesem Anhang sind einige Eigenschaften der Hartley-Transformation zusammengestellt. Die Hartley-Transformation wird im Zusammenhang mit den im sechsten, siebten und achten Kapitel betrachteten Hartley-Modulationsfunktionsmodellen benötigt.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

G. Matrixdifferentialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Anhang finden sich eine Definition und einige Regeln zur Matrixdifferentialrechnung, also zur Ableitung von matrixwertigen Funktionen nach matrixwertigen Argumenten.

Christian Bohn, Heinz Unbehauen

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