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2013 | Buch

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Springer-Taschenbuch der Mathematik

Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

herausgegeben von: Eberhard Zeidler

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das von Eberhard Zeidler herausgegebene Springer-Taschenbuch der Mathematik vermittelt ein lebendiges und modernes Bild der heutigen Mathematik. Umfassend und kompakt begleitet es Sie als unentbehrliches Nachschlagewerk im Studium und in der Praxis. Für diese Neuauflage des traditionsreichen Werkes (ehemaliger Titel Teubner-Taschenbuch der Mathematik) wurde der Text überarbeitet und neu gesetzt. Einige über das Bachelor-Studium hinausgehende Inhalte wurden herausgenommen und dafür anwendungsbezogene Themen der Wirtschafts- und Finanzmathematik sowie der Algorithmik und Informatik ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

0. Wichtige Formeln, Graphische Darstellungen und Tabellen

Zusammenfassung

Die Mathematik besitzt eine über 6000 Jahre alte Geschichte. Sie stellt das mächtigste Instrument des menschlichen Geistes dar, um die Naturgesetze präzis zu formulieren. Auf diesem Weg eröffnet sich die Möglichkeit, in die Geheimnisse der Welt der Elementarteilchen und in die unvorstellbaren Weiten des Universiums vorzudringen. Zentrale Gebiete der Mathematik sind

– Algebra,

– Geometrie und

– Analysis.

Die Algebra beschäftigte sich in ihrer ursprünglichen Form mit dem Lösen von Gleichungen. Keilschrifttexte aus der Zeit des Königs Hammurapi (18. Jh. v. Chr.) belegen, dass das mathematische Denken der Babylonier zur Lösung praktischer Aufgaben stark algebraische Züge trug. Dagegen war das mathematische Denken im antiken Griechenland, das im Erscheinen der axiomatisch verfassten „Elemente“ des Euklid (300 v. Chr.) gipfelte, von der Geometrie geprägt. Das analytische Denken, das auf dem Begriff des Grenzwerts basiert, wurde erst im siebzehnten Jahrhundert mit der Schaffung der Differential- und Integralrechnung durch Newton und Leibniz systematisch entwickelt.

Eberhard Zeidler

1. Analysis

Zusammenfassung

Im Mittelpunkt der Analysis steht die Untersuchung von Grenzwerten. Viele wichtige mathematische und physikalische Begriffe lassen sich durch Grenzwerte definieren, z. B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Arbeit, Energie, Leistung, Wirkung, Volumen und Oberfläche eines Körpers, Länge und Krümmung einer Kurve, Krümmung einer Fläche usw. Das Herzstück der Analysis stellt die von Newton (1643–1727) und Leibniz (1646–1716) unabhängig voneinander geschaffene Differential- und Integralrechnung dar. Bis auf wenige Ausnahmen waren der antiken Mathematik der Begriff des Grenzwerts fremd. Heute stellt die Analysis eine wichtige Grundlage der mathematischen Beschreibung der Naturwissenschaften dar (vgl. Abb. 1.1). Ihre volle Kraft entfaltet jedoch die Analysis erst im Zusammenwirken mit anderen mathematischen Disziplinen, wie zum Beispiel Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Stochastik und Numerik.

Eberhard Zeidler

2. Algebra

Abstract

Eine wichtige formale Voraussetzung für die Entwicklung des algebraischen Denkens war der Übergang von der Zahlenrechnung zur Buchstabenrechnung mit unbestimmten Ausdrücken. Diese Revolution in der Mathematik wurde von François Viète (Vieta) in der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts vollzogen. Die moderne algebraische Strukturtheorie geht auf Vorlesungen von Emmy Noether (1882– 1935) in Göttingen und Emil Artin (1898–1962) in Hamburg Mitte der zwanziger Jahr zurück und wurde von Bartel Leendert van der Waerden im Jahr 1930 in dessen „Moderner Algebra“ erstmalig in Buchform dargestellt. Dieses Buch hat viele Auflagen erlebt und ist noch heute ein sehr gut lesbares Standardwerk der Algebra.

Eberhard Zeidler

3. Geometrie

Zusammenfassung

Die Geometrie der Antike war die euklidische Geometrie, die über 200 Jahre lang die Mathematik beherrschte. Die berühmte Frage nach der Existenz nichteuklidischer Geometrien führte im 19. Jahrhundert zur Entwicklung einer Reihe von unterschiedlichen Geometrien. Daraus ergab sich das Problem der Klassifizierung von Geometrien. Der dreiundzwanzigjährige Felix Klein löste das Problem und zeigte im Jahre 1872 mit seinem Erlanger Programm, wie man Geometrien mit Hilfe der Gruppentheorie übersichtlich klassifizieren kann. Man benötigt dazu eine Gruppe G von Transformationen. Jede Eigenschaft oder Größe, die bei Anwendung von G invariant (d. h. unverändert) bleibt, ist eine Eigenschaft der zu G gehörigen Geometrie, die man auch G-Geometrie nennt. Von diesem Klassifizierungsprinzip werden wir in diesem Kapitel ständig Gebrauch machen. Wir wollen die Grundidee am Beispiel der euklidischen Geometrie und der Ähnlichkeitsgeometrie erläutern.

Eberhard Zeidler

4. Grundlagen der Mathematik

Zusammenfassung

Im Unterschied zur Umgangssprache benutzt die Mathematik eine sehr präzise Sprache, deren Grundbegriffe wir hier erläutern wollen.

Eberhard Zeidler

5. Variationsrechnung und Physik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir die Elemente der Variationsrechnung, der Steuerungstheorie und der Optimierungstheorie. Weiterführende Resultate findet man in den Kapiteln 12 und 14 im Handbuch. Insbesondere erläutern wir dort den Zusammenhang mit der nichtlinearen Funktionalanalysis. der Theorie nichtlinearer partieller Differentialgleichungen und der modernen Physik. Ferner werden im Kapitel 8 Anwendungen der Optimierungstheorie in der Wirtschaftsmathematik betrachtet.

Eberhard Zeidler

6. Stochastik – Mathematik des Zufalls

Zusammenfassung

Die Stochastik beschäftigt sich mit den mathematischen Gesetzmäßigkeiten des Zufalls. Während sich die Wahrscheinlichkeitstheorie den theoretischen Grundlagen widmet, entwickelt die mathematische Statistik auf der Basis der Wahrscheinlichkeitstheorie leistungsfähige Methoden, um aus umfangreichen Messdaten Erkenntnisse über Gesetzmäßigkeiten des untersuchten Gegenstands zu gewinnen. Deshalb ist die mathematische Statistik ein unverzichtbares mathematisches Instrument für alle Wissenschaften, die mit empirischem Material arbeiten (Medizin, Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften).

Eberhard Zeidler

7. Numerik und Wissenschaftliches Rechnen

Zusammenfassung

Die Grunderfahrung der numerischen Mathematik: Viele mathematische Methoden, die ihrem Wesen nach konstruktiver Natur sind, eignen sich nicht für numerische Rechnungen auf Computern. Um wirkungsvolle numerische Verfahren zu entwickeln, bedarf es spezifischer Kenntnisse und großer Erfahrung.

Eberhard Zeidler

8. Wirtschafts- und Finanzmathematik

Zusammenfassung

Zur Wirtschaftsmathematik zählen solche angewandten Gebiete wie Finanz- und Versicherungsmathematik, Operations Research und Optimierung, Anwendungen der Differentialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften und weitere. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Entwicklung und Begründung quantitativer Modelle und Methoden sowie deren Anwendung bei der Untersuchung praktischer Aufgabenstellungen, insbesondere – aber nicht nur – im ökonomischen Umfeld.

Eberhard Zeidler

9. Algorithmik und Informatik

Zusammenfassung

Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts war die Gesellschaft in einem Zustand der Euphorie angesichts der Erfolge der Wissenschaft und der technischen Revolution, die das Wissen in die Herstellung von Maschinen umgewandelt hatte. Die Produkte der kreativen Arbeit von Wissenschaftlern und Entwicklern drangen in das tägliche Leben und erhöhten die Lebensqualität wesentlich. Unvorstellbares wurde zur Realität. Die entstandene Begeisterung führte unter denWissenschaftlern nicht nur zu großem Optimismus, sondern sogar zu utopischen Vorstellungen über unsere Fähigkeiten. Es überwog die kausal-deterministische Vorstellung über die Welt, in der alles, was passiert, eine Ursache hat.

Eberhard Zeidler

Backmatter

Titel: Springer-Taschenbuch der Mathematik
herausgegeben von: Eberhard Zeidler
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-8348-2359-5
Print ISBN: 978-3-8351-0123-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2359-5