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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Fourier Transforms (I)

verfasst von : Toru Maruyama

Erschienen in: Fourier Analysis of Economic Phenomena

Verlag: Springer Singapore

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Abstract

The objects of classical theory of Fourier series discussed in the preceding chapter are periodic functions. Is it possible to construct an analogous theory for nonperiodic functions? It is the theory of Fourier transforms which answers this question positively.

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Fußnoten
1
The exposition in this section is primarily due to Kolmogorov–Fomin [6] Chap. 8, §3.
 
2
Some basic textbooks on the classical theory of Fourier transforms are Dym–McKean [2], Goldberg [3], Kawata [4, 5], Titchmarsh [10].
 
3
cf. Cartan [1] Chap. II, and Takagi [9] pp. 208–210.
 
4
cf. Takagi [9] p. 166, Theorem 42. We must be sure that we are dealing with an improper integral here. See also Stromberg [8] p. 380.
 
5
The exposition here is basically due to Kolmogorov–Fomin [6] Chap. 8, §4, 6∘. See also Schwartz [7] pp. 211–215 and pp. 311–315.
 
Literatur
1.
Cartan, H.: Théorie élémentaires des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961) (English edn.) Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables. Addison Wesley, Reading (1963)
2.
Dym, H., McKean, H.P.: Fourier Series and Integrals. Academic Press, New York (1972)
3.
Goldberg, R.R.: Fourier Transforms. Cambridge University Press, Cambridge (1961)
4.
Kawata, T.: Fourier Henkan to Laplace Henkan (Fourier Transforms and Laplace Transforms). Iwanami Shoten, Tokyo (1957) (Originally published in Japanese)
5.
Kawata, T.: Fourier Kaiseki (Fourier Analysis). Sangyo Tosho, Tokyo (1975) (Originally published in Japanese)
6.
Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V.: (English edn.) Introductory Real analysis. Prentice-Hall, New York (1970) (Japanese edn. translated from 4th edn.) Kansu-kaiseki no Kiso, 4th edn. Iwanami Shoten, Tokyo (1979) (Originally published in Russian). I use the Japanese edition for quotations.
7.
Schwartz, L.: Méthods mathématique pour les sciences physiques. Hermann, Paris (1965)
8.
Stromberg, K.R.: An Introduction to Classical Real Analysis. American Mathematical Society, Providence (1981)
9.
Takagi, T.: Kaiseki Gairon (Treatise on Analysis), 3rd edn. Iwanami Shoten, Tokyo (1961) (Originally published in Japanese)
10.
Titchmarsh, E.C.: Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 2nd edn. Oxford, London (1948)
Metadaten
Titel
Fourier Transforms (I)
verfasst von
Toru Maruyama
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Singapore
Buch
Fourier Analysis of Economic Phenomena

Print ISBN: 978-981-13-2729-2

Electronic ISBN: 978-981-13-2730-8

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-981-13-2730-8_3