Stability and post-critical growth of a system of cooling or shrinkage cracks

Abstract

When a system of parallel equidistant cooling cracks propagates into an elastic halfspace, it reaches at a certain depth of the cracks a critical point of instability, and the equilibrium path of the system bifurcates. Further extension of equally long cracks is unstable and impossible. The stable post-critical path consists of extension of every other crack upon further cooling, initially with a crack jump at constant temperature, while the intermediate cracks stop growing and gradually diminish their stress intensity factor until it becomes zero. This represents a second critical state at which these intermediate cracks suddenly close over a finite length at no change in temperature and at constant length of the leading cracks. Subsequently, as the cooling front further advances, the leading cracks grow at equal length until they again reach a critical state, at which every other crack stops growing, and the process in which the crack spacing doubles is repeated. In this manner, the spacing of the opened cooling cracks fluctuates around roughly the one-half value of the cooling penetration depth.

The instability is determined by the sign of the second variation of the work needed to create the cracks, which leads to positive definiteness conditions for a matrix consisting of partial derivatives of the stress intensity factors with regard to crack lengths, subjected to admissibility conditions for the eigenvector of crack length increments. The first initial state of crack arrest is characterized by the vanishing of the diagonal element of the matrix, while the second critical state of crack closing is characterized by the vanishing of the determinant of this matrix.

The critical states and the postcritical crack growth are calculated numerically by finite elements. The solution is applied to the cooling of a hot granite mass, the cracking of which is important for one recently proposed geothermal heat extraction scheme. The solution is also of interest for drying shrinkage cracks, especially in concrete.

Résumé

Lorsque un système de fissures équidistantes parallèles survenant lors d'un refroidissement se propage dans un demi espace élastique, il atteint à une certaine profondeur de fissuration un état critique d'instabilité et le chemin d'équilibre du système bifurque. Une extension ultérieure de fissures de longueurs égales se présente comme instable est impossible. Le chemin post-critique stable correspondra à une extension de toute autre fissure correspondant à un refroidissement ultérieur, et ce à l'origine avec un resaut de la fissure à temperature constante, tandis que les fissures intermédiaires cessent leur croissance et voient leur facteur d'intensité de contrainte graduellement diminuer jusqu'à la valeur nulle. Ceci correspond à un deuxième état critique pour lequel les fissures intermédiaires se ferment brusquement sur une longueur finie sans que ne se produise un changement de température, et à longueur constante des fissures principales. Par après lorsque le front de refroidissement continue d'avancer, les fissures principales croissent d'une longueur égale jusqu'à ce qu'elles atteignent à nouveau un état critique, état pour lequel les autres fissures cessent de croître et pour lequel le processus d'espacement des fissures est répété. De cette manière, l'espacement de fissures s'ouvrant lors du refroidissement fluctue autour d'une valeur correspondant sensiblement à la moitié de la valeur de la pénétration de refroidissement.

L'instabilité est déterminée par le signe de la deuxième variation du travail nécessaire pour créer les fissures, ce qui conduit à des conditions positives non définies pour une matrice comportant les dérivées partielles des facteurs d'intensité d'entaille par rapport aux longueurs de la fissure, l'ensemble étant sujet aux conditions d'admissibilité de l'eigenvector pour des accroissement de longueurs de la fissures. Le premier état initial de l'arrêt de la fissure est caractérisé par la disparition de l'élément diagonal de la matrice tandis que le deuxième état critique de fermeture de la fissure est caractérisé par la disparition du déterminant de cette matrice.

Les états critiques et la croissance post-critique de la fissure sont calculés de façon numérique par des éléments finis. La solution est appliquée au refroidissement d'une masse granitique à haute température dont la fissuration est importante, dans le cadre d'un schéma d'extraction de la chaleur géothermique proposé récemment. La solution est également intéressante à appliquer dans le cas de fissures procédant d'une contraction due au séchage, et ce en particulier dans le cas du béton.