Eine einfache Konstruktion von Koordinatenfunktionen für die numerische Lösung zweidimensionaler Randwertprobleme nach Rayleigh-Ritz

Übersicht

Um mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz brauchbarc Näherungslösungen zweidimensionaler linearer Randwertaufgaben zu erhalten, benötigt man oft eine große Zahl linear unabhängiger Koordinatenfunktionen. Diese müssen den wesentlichen Randbedingungen des Variationsproblems genügen und sollten, im Hinblick auf den numerischen Rechenaufwand, zu einem gut konditionierten und rasch aufzubauenden Gleichungssystem für die Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes führen. Die hier mitgeteilte Konstruktion von Koordinatenfunktionen, die solche Forderungen optimal erfüllen, beruht auf der Lösung eines zweidimensionalen Interpolationsproblems. In den Knotenpunkten eines rechteckigen Netzes sind die Werte der zu interpolierenden Funktion und ihrer partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung als Stützwerte der Interpolation vorgeschrieben. Über jeder rechteckigen Masche des Netzes können dann ganze rationale Funktionen gleichhoher Ordnung angegeben werden, welche die in den Eckpunkten vorgegebenen Stützwerte annehmen und sich von Masche zu Masche stetig und mit stetigen Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung aneinander anschließen. Verwendet man die Stützwerte der Interpolation als Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes, so wird die Lösung der Randwertaufgabe über ihrem Bereich mosaikartig approximiert.

Summary

In order to obtain suitable approximate solutions of two-dimensional boundary problems by the Rayleigh-Ritz method frequently a great number of linear independent and admissible coordinate functions is required. They have to satisfy the essential boundary conditions of the variational problem and are expected to yield a well conditioned and rapidly built up set of linear equations for the undetermined constants in the Ritz minimising sequence. Our method to realize such demands is based on the solution of a two-dimensional interpolation problem. In the knots of a rectangular net the values of the function and of its partial derivatives up to a definite order are prescribed as the pivots of the interpolation. Above every singular mesh of the net polynomials of equal degree can be set up which take the pivots in the four corners and represent from one mesh to another above the whole net a smooth surface with continous partial derivatives up to a required order n. The (n + 1)² pivots in every net-point are used as the undetermined constants in the Rayleigh-Ritz method and thus the solution of the boundary problem is approximated by tesselated polynomials of restricted degree.