Summary
Recently, the Green's function method has been applied successfully to problems of plane elasticity, using influence functions of some finite basic domain of simple geometrical shape, which contains the given one as a subdomain. The result of this formulation is a pair of integral equations, which have to be defined only along that part of the boundary not coinciding with the border of the basic domain.
A rather general formulation for the solution of bending of plates of arbitrary convex planform and loading is presented, where, for the sake of brevity, plates of polygonal shape are considered. The polygonal plate is embedded in a rectangular domain, thereby applying coincidence of boundaries as far as possible. Those boundary conditions in the actual problem, which are not already satisfied, lead to a pair of coupled integral equations for a density function vector with components to be interpreted as line loads and moments distributed in the basic domain along the actual boundary. Thus, the kernel is the corresponding Green's matrix. Hence, having solved the integral equations, deflections and stresses in the actual problem are explicitly known.
Solution of the integral equations is generally achieved by a numerical procedure.
The method is tested in example problems by considering a trapezoidal plate under various boundary conditions.
Zusammenfassung
Die Methode der Greenschen Funktion wurde in jüngster Zeit erfolgreich auf Probleme der ebenen Elastizitätstheorie angewendet. Dabei fanden Einflußfunktionen eines endlichen Grundbereiches einfacher geometrischer Form, der den gegebenen Bereich einschließt, Verwendung. Das Resultat dieser Formulierung ist ein Integralgleichungspaar, welches entlang dem Teil des Randes zu erstrecken ist, der nicht mit dem Rand des Grundbereiches bereits zusammenfällt.
Eine allgemein gehaltene Formulierung der Biegelösung von Platten mit konvexem Grundriß unter beliebiger Belastung wird angegeben, wobei allerdings der Kürze halber eine Beschränkung auf polygonplatten erfolgt. Die Polygonplatte wird in einen Rechteckbereich eingebettet, wobei soviele Ränder wie möglich zusammenfallen sollen. Jene Randbedingungen des wirklichen Problems, welche dann noch nicht erfüllt sind, führen auf ein gekoppeltes Integralgleichungspaar für den Dichtefunktionsvektor, dessen Komponenten als im Grundbereich entlang der wirklichen Berandung verteilte Linienlasten und Linienmomente gedeutet werden. Damit wird der Kern zur korrespondierenden Greenschen Matrix. Weiters sind, nach Lösung der Integralgleichungen, Biegefläche und Spannungen des wirklichen Problems explizit bekannt. Die Lösung der Integralgleichungen erfolgt im allgemeinen numerisch.
Die Methode wird an Beispielen getestet, wobei eine Trapezplatte unter verschiedenen Randbedingungen untersucht wird.
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Irschik, H., Ziegler, F. Application of the Green's function method to thin elastic polygonal plates. Acta Mechanica 39, 155–169 (1981). https://doi.org/10.1007/BF01170339
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01170339